崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
x2x
=exp[ik][a0+2a1cos(k1x)]
2zz
其中前面的因子是共有的，则像面上的波的特征由振幅[a0+2a1cos(k值得注意的是，交流成分的空间频率为f1=
x1
x)]决定。 z
kx1x1
，即高级次的衍射斑的空间频=
2πzλz
率高。交流与直流的相对振幅由a0与2a1的相对大小决定。如果2a1> a0，上式可以出现负值。
（3） 进一步展宽狭缝，使0，±1和±2级都通过，则有
xxx2
??UI=exp[ik][a0+2a1cos(k1x)+2a2cos(k2x)]
2zzz
（4） 使0级之外的所有衍射斑都通过狭缝，则有
x2xxxx~
UI=2exp[ik][a1cos(k1x)+a2cos(k2)+a3cos(k3)+a4cos(k4)+\]
2zzzzz
三、相衬显微镜
普通显微镜容易观察透射率或反射率相差较大的样品，即振幅型样品。
但是对于均匀透明的样品，即透过率函数是位相型的样品，则由于反衬度太小而无法观察。
但是可以采用附加相移的办法改变透过率。
设样品的屏函数为t(x,y)=e
~
i?(x,y)
，对振幅或光强的透过率没有变化。物平面的波为
??=At??Uo1(x,y)。依Taylor展开
1i~
Uo=A1ei?(x,y)=A1[1+i???2??3+\]
2!3!
在显微镜物镜的傅氏面处加一位相板，即在一玻璃板的中心加一小滴液体。该液体由于
处于傅氏面上零级斑的位置，只能使直流成分产生相移。透过位相板的光波，即进入像面的光波变为
仅作用于0级1i~~iδi?(x,y)iδ=UI=Uoe=A1eeA1[eiδ+i???2??3+\]
2!3!
1i
=A1[eiδ?1+1+i???2??3+\]=A1[eiδ?1+ei?]
2!3!
光强为Ι(x,y)=Α1(e?1+e)(e
2ιδι?-ιδ
?1+e-ι?)
=A12{3+2[cos(??δ)?cos??cosδ]}
=A[3+2(sin?sinδ+cos?cosδ?cos??cosδ)]
2
1
此时光强与位相有关。
可以使样品的厚度很小，因而?<<1，此时sin?≈?，cos?≈1，上式变为
I=A12[1+2?(x′,y′)sinδ]。sinδ为反衬度。如果使相移等于π/2，则可以得到最
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大的反衬度。
上述方法称为位相反衬法，即位相法，由Zernik于1935年提出，1953年获得诺贝尔物理学奖。
§5.4 夫琅和费衍射场的标准形式
夫琅和费衍射是光源和接收屏都与衍射屏相距无穷远的衍射。实际的衍射，除了上述按定义的衍射装置之外，还有其它的衍射装置。 远场接收、焦面接收、以及像面接收，等等。它们都可以按菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式求得
i~
U(x′,y′)=?
2π
eikr~
∫∫(cosθ0+cosθ)U2(x,y)rdxdy ~
其中U2(x,y)=U1(x,y)t(x,y)，衍射屏处的透射波前，即前面所定义的瞳函数。在傍
~~
轴条件下，上述积分化为
~~
U(x′,y′)=C∫∫U2(x,y)eikrdxdy
平行光正入射时，U2(x,y)=A1t(x,y)，kr=kr0?kxsinθ1?kysinθ2
~
~
~
U(x′,y′)=CA1eikr0∫∫~t(x,y)e?ik(xsinθ1+ysinθ2)dxdy
上述积分为夫琅和费衍射积分的标准形式。
对于远场接收，即物点满足远场条件时，波前（x，y）在像平面上的复振幅为
A~
U(x′,y′)=1eikr0′e
z
衍射积分为
?ik
(xx′+yy′)z
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?ik
(xx′+yy′)z
~
U(x′,y′)=CA1eikr0∫∫~t(x,y)e
dxdy
x′2+y′2
。事实上，由于sinθ1≈x′/z，sinθ2≈y′/z远场积分与定其中r0′=z+
2z
义积分一致。
对于焦面接收， U(x′,y′)=CA1e
~
ikL0
~?ik(xsinθ1+ysinθ2)
dxdy ∫∫t(x,y)e
其中L0为衍射屏中心到场点的光程。
对于像面接收，由于是球面波照明，衍射屏处的波前不再是等位相面。可以设
~
U1(x,y)=A1ei?1(x,y)
衍射积分公式为
′+ik(r0~~
U(x′,y′)=C∫∫U1(x,y)~t(x,y)e
x′2+y′2?ik
)(xx′+yy′)
z′2z′
edxdy dxdy
=CA1e
ik
x′2+y′2
2z′
~′i?1(x,y)+ikr0t(x,y)ee∫∫
?ik
(xx′+yy′)z′
?1(x,y)+kr0′=k[(SQ)+(QS′)]=k(SQS′)
由于物像之间的等光程性，（SQS’）为恒定值，与物点的位置无关。将其记为常数L0，衍射积分为
ik~
U(x′,y′)=CA1eikL0e
x′2+y′2
2z′
~
∫∫t(x,y)e
?ik
(xx′+yy′)z′
dxdy
也符合夫琅和费衍射积分的标准形式。
§5.5 空间滤波和信息处理
一、用夫琅和费衍射实现屏函数的傅里叶变换
夫琅和费衍射的标准形式为 或
~
U(θ1,θ2)=CA1ei?(θ1,θ2)∫∫~t(x,y)e?ik(xsinθ1+ysinθ2)dxdy ~
U(x′,y′)=CA1ei?(x′,y′)∫∫~t(x,y)e
?ik
(xx′+yy′)z′
dxdy
其中?(θ1,θ2)和?(x′,y′)为衍射屏中心到接收平面的位相差，在接收面的不同位置，具有不同的数值。
而屏函数的傅里叶变换为
T(fx,fy)=∫∫~t(x,y)e
?i2π(xfx+yfy)
dxdy
k
(x′,y′) z
可以很容易让被积函数的相因子相等，即
2π(fx,fy)=(ksinθ1,ksinθ2)，或2π(fx,fy)=
如果积分式前面的因子是常数的话，或则对物理结果没有影响的话，则可以使得夫琅和
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费衍射变成屏函数的频谱。
1、 如果只是一次衍射后获得衍射场的强度分布，则上述因子不起作用。
2、 如果涉及二次衍射，则傅氏面上的位相分布影响到第二次相干叠加的结果。但若是
傅氏面上有平面波，则上述相因子即为常数。将衍射屏置于透镜的前焦面即可。这时后焦面的复振幅分部即是准确的屏函数的傅里叶频谱，当然两者相差一个常系
数。可以写成U(x′,y′)=F{t(x,y)}。同时有(fx,fy)=
~
~
k1
(x′,y′)=(x′,y′)。
2πFλF
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