崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
x2+y2
=A1expik[?(n?1)(α1x+α2y)]
2s
等效于轴外物点发出的球面波，点源的位置为x0=(n?1)α1s，y0=(n?1)α2s，
z0=s
透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏，只对波的位相起变换作用，是一种简单的变换装置。
§ 6.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析 一．屏函数的傅里叶变换
1．空间频率的概念
单缝、距孔、圆孔或者光栅，都是衍射屏，其作用是使入射波的波前改变，可以用屏函数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅，即具有周期性空间结构的衍射屏。
衍射屏具有空间的周期性，而波也具有空间的周期性，即衍射屏函数和复振幅都是空间的周期性函数，那么一定可以从数学上得到新的处理方法。
衍射光栅具有空间的周期性，无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅，其周期都可以用光栅常数d表示。
周期的倒数是频率，例如对于振动，其振动周期T的倒数是振动的频率υ，这是时间上的周期和频率。同样，在空间上也可以定义周期和频率，空间周期的倒数就是空间频率，即有f=
1
。f称为空间频率。 d
周期性的衍射屏，既可以用空间周期描述，也可以用空间频率描述。
前面说过的反射、透射或闪耀光栅，可以认为是“黑白型”的。即一部分使光全部透射或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏，其屏函数表示为
?1透光部分~t(x,y)=?，严格的周期函数，应该是定义域为整个xy平面。 0遮光部分?
X方向的透过率表示为
6
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x0+nd ?0x0+nd+a 其周期性表示为t(x)=t(x+nd)，d为最小的空间周期，即空间周期。空间频率为 ~~ f= 1。 d 如果透过率的变化是三角函数形式，即余弦或正弦型的，称为正弦光栅。 2．正弦光栅的傅立叶变换 正弦光栅，如果光栅刻线与y轴平行，则其透过率在X方向作周期性变化，周期为d，空间频率为f，f=1/d。其屏函数可以写成t(x)=t0+t1cos(2πfx+ 平行光正入射，由于U1(x)=A1，则透射波的复振幅为 ~ ?0)。 ~ ~~~ U2(x)=U1(x)t(x)=A1[t0+t1cos(2πfx+?0)]。而 1 {exp[i(2πfx+?0)]+exp[?i(2πfx+?0)]}，所以 211~ U2(x)=A1t0+A1t1expexp[i(2πfx+?0)]+A1t1exp[?i(2πfx+?0)]，即 22 ~~~~ U2(x)=U0(x)+U+1(x)+U?1(x)，透射波实际上变为三列平面波 cos(2πfx+?0)= 关于波的方向 1~ U+1(x)=A1t1exp[i(2πfx+?0)]，为平面波，其波矢在x方向的分量为 2 k +1 x =2πf，方向角为sinθ1 +1 k2πf=x+1==fλ，其余两列波的方向角分别为 2πk +1 λsinθ1=0，sinθ1?1=?fλ。f为空间频率。 7 0 崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 一列波，其空间频率越大，在X方向的波矢分量越大，即对于光轴的角度越大。所以，对于有限大小的通光孔径，总是空间频率小的波可以通过，空间频率大的波不能通过。这就是空间滤波的原理。 ~ U0(x)=A1t0，0级波，直流成分，方向sinθ0=0 1~ U+1(x)=A1t1exp[i(2πfx+?0)]，+1级波，方向sinθ+1=fλ 21~ U?1(x)=A1t1exp[?i(2πfx+?0)]，-1级波，方向sinθ?1=?fλ 2 上述结果与前面用衍射积分公式得到的结果是不一样的，积分公式的结果是 ??(x)=KFUdeU0 ikr0 f [ sinββ+ 1sin(β?π)1sin(β+π) +] 2β?π2β+π不同的原因是由于光栅的宽度是有限的，所以上述的屏函数或透过率实际上不是严格的 周期性函数，因而每一列波都有相应的半角宽度。 ?θ0= λD ，?θ±1= λDcosθ±1 ，D是光栅的有效宽度。 3．周期性屏函数的傅里叶变换 对于一般的周期性的屏函数，可以用傅里叶级数将其展开为一系列正弦和余弦函数的和。 如果周期函数为t(x)，其周期为d，x∈(?∞,+∞)，则t(x)可以用Fourier级数表示，即， t(x)=t0+∑ancos2πfnx+∑bnsin2πfnx，其中fn=nf1=n n>0 n>0 11 ，f1=是基频。 dd 而相应的Fourier系数为 t0= 1 d ∫ d/2 ?d/2 t(x)dx 8 崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 2d/2 an=∫t(x)cos(2πfnx)dx d?d/22d/2 bn=∫t(x)sin(2πfnx)dx d?d/2 或者， t(x)=t0+∑cncos(2πfnx??n)，cn=an+bn，?n=tan?1 2 2 n>0 bn 。 an 或者， t(x)=t0+∑tnexp[i(2πfnx??n)]=t0+∑~tnexp[i(2πfnx)] n≠0 n≠0 1~tn=tne?i?n=(an?ibn) 2~~1傅里叶系数tn可以直接求出，tn= d ∫ d/2 ?d/2 t(x)exp(?2iπfnx)dx 波动光学中，用复数表示有简单明确的优点，所以上述的复数表达式具有代表性。 屏函数的傅里叶频谱 ~tn是将周期性函数展开为Fourier级数后相应的系数，实际上表示每一个成分所占的??nexpi(2πfnx)视为波的复振幅，则tn表示的就是e比重。如果从波的角度看，将t 振幅。 ~ 2iπfnx 的 ~~tn的集合称为傅里叶频谱，即空间频率为fn的成分的振幅。对于周期性的屏函数，tn的 取值是分立的，而非周期性的屏函数，由于必须以Fourier积分的形式表示，则tn的取值为连续的。 从Fourier变换的角度来看，任何形式的衍射屏或物体，即任何形式的屏函数，都可以将其看成是一系列具有空间周期性的函数的线性叠加，即的空间频谱的线性叠加。每一个周期函数的相因子可以表示为?n=2πfnx，单色平面波照射到这些物体上，由于平面 ~ GG 波的位相因子也是线性的，即?(x,y)=k?r+?0=kxx+kyy+kzz+?0，所以透射波也 是一系列具有空间周期性函数的线性叠加，其每一成分的周期与fn和屏函数的周期有关，该成分的相因子为?n′=?(x,y)+?n=kxx+kyy+kzz+2πfnx+?0，则分解成为一系列向不同方向出射的单色平面波，或者是分立的，或者是连续的。 傅氏面 每一个空间频谱代表一个衍射波，该衍射波是平面波。用透镜将可以将不同方向的平 9 崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 面衍射波汇聚到其像方焦平面的不同位置，则得到一系列的衍射斑，则焦平面就是入射波经过衍射屏之后形成的空间频谱面，即衍射屏、或原图像的傅里叶频谱面，称为傅氏面。夫琅和费衍射装置就是傅里叶频谱分析器。 4．黑白型光栅的屏函数 一维情形，即光栅的刻线方向与坐标轴平行，设与y轴平行，屏函数是在x方向的周期性函数，其周期性屏函数可以表示为t(x)=t(x+nd)，设x∈(?∞,+∞)，n为整数。可以直接用傅里叶级数表示为 ∞~t(x)=∑n=?∞anei2πnfx，则其中的Fourier频谱为 ~~ an= 1d/21a/2?i2πnfx?i2πnfx ()txedxedx=∫∫/2d/2a??dd 1sin(πnfa)asin(πnfa)asin(πna/d) (e?iπnfa?eiπnfa)==?==di2πnfdπnfdπnfadπna/d 其方向为sinθn=nfλ= n λ，即dsinθn=nλ，即为光栅方程。 d πa sin(sinθn)2 asin(πna/d)2a2π，为单元衍射因子n级谱的强度为In=an=[]=()2 πadπna/dd(sinθ)2 πn 对应的强度分布。 例如对于a=d/2的光栅，其屏函数的傅里叶展开式为 t(x)= 1222+cos(2πfx)?cos(2π*3fx)+cos(2π*5fx)?\ 2π3π5π或用指数表示为 111i2π*3fx1i2π*5fx~t(x)=+[ei2πfx?e?i2πfx]?[e?e?i2π*3fx]+[e?e?i2π*5fx]?\ 2π3π5π其二、四、六等衍射级次缺级。 5．非周期性的屏函数的傅里叶变换 非周期性的函数，相当于f= 1 =0,(d=∞)的周期性函数。 d 10
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