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傅立叶变换光学

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崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

x2+y2

=A1expik[?(n?1)(α1x+α2y)]

2s

等效于轴外物点发出的球面波,点源的位置为x0=(n?1)α1s,y0=(n?1)α2s,

z0=s

透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏,只对波的位相起变换作用,是一种简单的变换装置。

§ 6.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析 一.屏函数的傅里叶变换

1.空间频率的概念

单缝、距孔、圆孔或者光栅,都是衍射屏,其作用是使入射波的波前改变,可以用屏函数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅,即具有周期性空间结构的衍射屏。

衍射屏具有空间的周期性,而波也具有空间的周期性,即衍射屏函数和复振幅都是空间的周期性函数,那么一定可以从数学上得到新的处理方法。

衍射光栅具有空间的周期性,无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅,其周期都可以用光栅常数d表示。

周期的倒数是频率,例如对于振动,其振动周期T的倒数是振动的频率υ,这是时间上的周期和频率。同样,在空间上也可以定义周期和频率,空间周期的倒数就是空间频率,即有f=

1

。f称为空间频率。 d

周期性的衍射屏,既可以用空间周期描述,也可以用空间频率描述。

前面说过的反射、透射或闪耀光栅,可以认为是“黑白型”的。即一部分使光全部透射或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏,其屏函数表示为

?1透光部分~t(x,y)=?,严格的周期函数,应该是定义域为整个xy平面。 0遮光部分?

X方向的透过率表示为

6

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

x0+nd

?0x0+nd+a

其周期性表示为t(x)=t(x+nd),d为最小的空间周期,即空间周期。空间频率为

~~

f=

1。 d

如果透过率的变化是三角函数形式,即余弦或正弦型的,称为正弦光栅。

2.正弦光栅的傅立叶变换

正弦光栅,如果光栅刻线与y轴平行,则其透过率在X方向作周期性变化,周期为d,空间频率为f,f=1/d。其屏函数可以写成t(x)=t0+t1cos(2πfx+

平行光正入射,由于U1(x)=A1,则透射波的复振幅为

~

?0)。

~

~~~

U2(x)=U1(x)t(x)=A1[t0+t1cos(2πfx+?0)]。而

1

{exp[i(2πfx+?0)]+exp[?i(2πfx+?0)]},所以 211~

U2(x)=A1t0+A1t1expexp[i(2πfx+?0)]+A1t1exp[?i(2πfx+?0)],即

22

~~~~

U2(x)=U0(x)+U+1(x)+U?1(x),透射波实际上变为三列平面波 cos(2πfx+?0)=

关于波的方向

1~

U+1(x)=A1t1exp[i(2πfx+?0)],为平面波,其波矢在x方向的分量为

2

k

+1

x

=2πf,方向角为sinθ1

+1

k2πf=x+1==fλ,其余两列波的方向角分别为

2πk

+1

λsinθ1=0,sinθ1?1=?fλ。f为空间频率。

7

0

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

一列波,其空间频率越大,在X方向的波矢分量越大,即对于光轴的角度越大。所以,对于有限大小的通光孔径,总是空间频率小的波可以通过,空间频率大的波不能通过。这就是空间滤波的原理。

~

U0(x)=A1t0,0级波,直流成分,方向sinθ0=0

1~

U+1(x)=A1t1exp[i(2πfx+?0)],+1级波,方向sinθ+1=fλ

21~

U?1(x)=A1t1exp[?i(2πfx+?0)],-1级波,方向sinθ?1=?fλ

2

上述结果与前面用衍射积分公式得到的结果是不一样的,积分公式的结果是

??(x)=KFUdeU0

ikr0

f

[

sinββ+

1sin(β?π)1sin(β+π)

+]

2β?π2β+π不同的原因是由于光栅的宽度是有限的,所以上述的屏函数或透过率实际上不是严格的

周期性函数,因而每一列波都有相应的半角宽度。

?θ0=

λD

,?θ±1=

λDcosθ±1

,D是光栅的有效宽度。

3.周期性屏函数的傅里叶变换

对于一般的周期性的屏函数,可以用傅里叶级数将其展开为一系列正弦和余弦函数的和。

如果周期函数为t(x),其周期为d,x∈(?∞,+∞),则t(x)可以用Fourier级数表示,即,

t(x)=t0+∑ancos2πfnx+∑bnsin2πfnx,其中fn=nf1=n

n>0

n>0

11

,f1=是基频。 dd

而相应的Fourier系数为

t0=

1

d

d/2

?d/2

t(x)dx

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崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

2d/2

an=∫t(x)cos(2πfnx)dx

d?d/22d/2

bn=∫t(x)sin(2πfnx)dx

d?d/2

或者,

t(x)=t0+∑cncos(2πfnx??n),cn=an+bn,?n=tan?1

2

2

n>0

bn

。 an

或者,

t(x)=t0+∑tnexp[i(2πfnx??n)]=t0+∑~tnexp[i(2πfnx)]

n≠0

n≠0

1~tn=tne?i?n=(an?ibn)

2~~1傅里叶系数tn可以直接求出,tn=

d

d/2

?d/2

t(x)exp(?2iπfnx)dx

波动光学中,用复数表示有简单明确的优点,所以上述的复数表达式具有代表性。

屏函数的傅里叶频谱

~tn是将周期性函数展开为Fourier级数后相应的系数,实际上表示每一个成分所占的??nexpi(2πfnx)视为波的复振幅,则tn表示的就是e比重。如果从波的角度看,将t

振幅。

~

2iπfnx

~~tn的集合称为傅里叶频谱,即空间频率为fn的成分的振幅。对于周期性的屏函数,tn的

取值是分立的,而非周期性的屏函数,由于必须以Fourier积分的形式表示,则tn的取值为连续的。

从Fourier变换的角度来看,任何形式的衍射屏或物体,即任何形式的屏函数,都可以将其看成是一系列具有空间周期性的函数的线性叠加,即的空间频谱的线性叠加。每一个周期函数的相因子可以表示为?n=2πfnx,单色平面波照射到这些物体上,由于平面

~

GG

波的位相因子也是线性的,即?(x,y)=k?r+?0=kxx+kyy+kzz+?0,所以透射波也

是一系列具有空间周期性函数的线性叠加,其每一成分的周期与fn和屏函数的周期有关,该成分的相因子为?n′=?(x,y)+?n=kxx+kyy+kzz+2πfnx+?0,则分解成为一系列向不同方向出射的单色平面波,或者是分立的,或者是连续的。

傅氏面

每一个空间频谱代表一个衍射波,该衍射波是平面波。用透镜将可以将不同方向的平

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崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

面衍射波汇聚到其像方焦平面的不同位置,则得到一系列的衍射斑,则焦平面就是入射波经过衍射屏之后形成的空间频谱面,即衍射屏、或原图像的傅里叶频谱面,称为傅氏面。夫琅和费衍射装置就是傅里叶频谱分析器。

4.黑白型光栅的屏函数

一维情形,即光栅的刻线方向与坐标轴平行,设与y轴平行,屏函数是在x方向的周期性函数,其周期性屏函数可以表示为t(x)=t(x+nd),设x∈(?∞,+∞),n为整数。可以直接用傅里叶级数表示为

∞~t(x)=∑n=?∞anei2πnfx,则其中的Fourier频谱为

~~

an=

1d/21a/2?i2πnfx?i2πnfx

()txedxedx=∫∫/2d/2a??dd

1sin(πnfa)asin(πnfa)asin(πna/d)

(e?iπnfa?eiπnfa)==?==di2πnfdπnfdπnfadπna/d

其方向为sinθn=nfλ=

n

λ,即dsinθn=nλ,即为光栅方程。 d

πa

sin(sinθn)2

asin(πna/d)2a2π,为单元衍射因子n级谱的强度为In=an=[]=()2

πadπna/dd(sinθ)2

πn

对应的强度分布。

例如对于a=d/2的光栅,其屏函数的傅里叶展开式为

t(x)=

1222+cos(2πfx)?cos(2π*3fx)+cos(2π*5fx)?\ 2π3π5π或用指数表示为

111i2π*3fx1i2π*5fx~t(x)=+[ei2πfx?e?i2πfx]?[e?e?i2π*3fx]+[e?e?i2π*5fx]?\ 2π3π5π其二、四、六等衍射级次缺级。

5.非周期性的屏函数的傅里叶变换

非周期性的函数,相当于f=

1

=0,(d=∞)的周期性函数。 d

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