崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
第六章 傅里叶变换光学
处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是从光的波动性出发，应用波的叠加原理或是
菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。即都是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。
但是，我们可以从另外一个角度分析这类问题。电磁学中场的概念给予我们有益的启示。入射的电磁波，即入射波场，遇到障碍物之后，发生衍射。衍射波场中，各种物理量重新分布，与简单的入射波场有极大的差别。这种差别，是由于障碍物造成的，或者说，衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。
衍射障碍物就是衍射屏，具有一定的空间结构、或者光学结构，这种空间的光学结构，可以用某种形式的函数来表示，这样一来，衍射障碍物对入射波场的变换作用，就可以表示为入射波的复振幅与该函数的乘积。
从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，例如成像系统中的透镜、反射镜，它们的作用都可以应用变换的方法处理。
二次大战中，由于对雷达波的研究，促进了光学理论的发展，使得变换光学得以建立。
§ 6.1 衍射系统的屏函数 一．衍射屏函数
衍射发生的条件，要求有障碍物在波场中。波在自由空间中传播是不会出现衍射的。衍射障碍物的存在，使得波面改变，或者说波的复振幅重新分布。以前的衍射屏的作用就是这样。所以，把能使波前的复振幅发生改变的物，统称为衍射屏。单缝、圆孔、光栅等等，是我们熟悉的衍射屏，透镜、棱镜等，也是衍射屏。
衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间，后场为衍射空间。
波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别为U1(x,y)和U2(x,y)，接收屏上的复振幅为
~~
1
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
~~
U(x′,y′)，分别称之为入射场、透射场（或反射场）和接收场。衍射屏的作用使得U1(x,y)
~U(x,y)~~~
转换为U2(x,y)。用函数表示，t(x,y)=~2，t(x,y)为透过率或反射率函数，统
U1(x,y)
称屏函数。
模t(x,y)为常数的衍射屏称为位相型屏函数为复数，t(x,y)=t(x,y)exp[i?t(x,y)]。的，幅角?t(x,y)为常数的衍射屏称为振幅型的。
~
二．相因子判断法
知道了衍射屏的屏函数，就可以确定已知入射场经过衍射屏之后的衍射场的复振幅变换
情况，进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完全确定屏函数通常较困难，或者说几乎是不可能的。所以只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。如果能够确定屏函数的位相，则可以通过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。
傍轴近似下，各种类型的波的相因子罗列如下。
1、波矢沿(θ1,θ2)（与平面夹角）方向的平面波
exp[ik(sinθ1x+sinθ2y)]
2、轴上发散的球面波
x2+y2
exp[ik]
2z
3、轴上汇聚的球面波
x2+y2
exp[?ik]
2z
2
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
4、轴外发散球面波
x2+y2xx0+yy0
?exp[ik(]
z2z
5、轴外汇聚球面波
x2+y2xx0+yy0
?exp[?ik(]
z2z
三．波前的相因子
典型的平面波和球面波在波前上的相因子已在前面求得。
1． 透镜的位相变换函数（透过率函数）
薄透镜，中心厚度为d0，透镜的有效口径为D。即光束被限制在直径为D的范围内。
3
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
在透镜前后各取一个平面，入射波和透射波的复振幅分别为
~~
U1(x,y)=A1exp[i?1(x,y)]，U2(x,y)=A2exp[i?2(x,y)]。透镜的透过率函数为
D?i?L(x,y)
<(,),axyer?A~2，r=x2+y2 tL=2exp[i(?2??1)]=?
DA1
?0,r>
2?
忽略透镜的吸收，即a(x,y)=A2/A1=1，有
~tL(x,y)=exp[i?L(x,y)]=exp[i(?2(x,y)??1(x,y))]，为透镜的位相变换函数。
对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得经透镜后的
位相差为
?L(x,y)=
2πλ2π2π =[?1+?2+n(d0??1??2)]=?0?(n?1)(?1+?2)
λλ2π?0=nd0
λ2
2
2
[?1+?2+nd(x,y)]
x2+y2x2+y2
近轴条件下，?1(x,y)=r1?r1?(x+y)=r1(1?1? )≈2
r12r1x2+y2
?2(x,y)=?r2?r2?(x+y)≈?
2r2
2
2
2
2πn?111x2+y222
?L(x,y)=?(?)(x+y)=?k，其中F=
λ2r1r22F
可得透镜的位相变换函数为
1
。
11(n?1)(?)
r1r2
x2+y2x2+y2~tL(x,y)=exp[?ik]，其相因子为?ik
2F2F
可以用上述函数得到几何光学的物像公式。
例如，平行光正入射，入射波在透镜平面处的复振幅为U1=A1，透射波为
4
~
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学
x2+y2~~~]为汇聚到透镜后F处的球面波。透U2(x,y)=U1(x,y)tL(x,y)=A1exp[?ik
2F
镜焦距为F。
x2+y2~
如果如射波是透镜前s处的球面波，则U1(x,y)=A1exp[ik]
2s
x2+y2x2+y2x2+y211~
衍射波U2(x,y)=A1exp[ik]exp[?ik]=A1exp[?ik(?)]
2s2F2Fs
为汇聚到
111
?Fs
处的球面波。s′=1/(
11sF
。 ?)=
Fss?F
即物像公式为
111
+=。 ss′F
2．棱镜的位相变换函数（透过率函数）
在棱镜前后各取一相互平行的平面，入射波和透射波在两平面上的复
振幅各为U1(x,y)=A1exp[i?1(x,y)]，U2(x,y)=A2exp[i?2(x,y)]
薄的楔形棱镜，可以得到
~~
?P(x,y)=?0=
2π2πλ(?+nd)=
2πλ(?+nd0?n?)=?0?
2πλ(n?1)?。
λnd0，为常数，相当于从棱镜中部（即光轴处）通过的光的位相
滞后。如果棱镜前后两面的交棱，即楔角处的棱与y轴平行，楔角为α，则?=xα。d0为棱镜中心处的厚度。
?P
(x,y)=?k(n?1)αx
如果棱镜的前表面保持在xy平面内，而前后两面的交棱在xy平面内沿任意方向，即相当于棱镜绕光轴转过一个角度。可以用斜面法线的方向余弦角α1，α2表征，则有
~tP(x,y)=exp[?ik(n?1)(α1x+α2y)]
例如，轴上一物点到棱镜的距离为s，则其发出的球面波经过棱镜后出射的波前可以按以下方法求得
x2+y2~~~U2(x,y)=U1(x,y)tP(x,y)=A1exp[ik]exp[?ik(n?1)(α1x+α2y)] 2s
5
傅立叶变换光学 - 图文
