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第三章 刚体的转动
3-1 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即
???k?，式中k为比例常数。初始角速度为?0，求： （1）飞轮角速度随时间变化的关系；
（2）角速度由?0减为?02所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。
解：（1）由??d?，???k? dtd???k? dt分离变量
d????kdt，并由初始条件t?0,???0；
等式两边积分
??ln?0d?????kdt
0t???kt ???0e?kt ?0（2）当角速度由?0减为
?02时
?02??0e?kt
e?kt?由??1111 t??ln?ln2 2k2kd?，???0e?kt dtd???0e?kt dt分离变量 d???0e?ktdt，并由初始条件t?0，??0；等式两边积分
????代入t?k?0d????0e?ktdt
0t?0?e?kt?1???0k??0ke?kt
1ln2，得飞轮转过的角度 k .
???0k??0ke?ln2??0k??0k?1?0 ?22k飞轮转过的转数 N????0 2?4?k3-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为at，法向加速度为an，试证明anat?2?，?为任意时间内转过的角度。
解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为R，则该点的 法向加速度为 an??2R 切向加速度为 at?R?
an?2R?2 ??atR??2?2?????0?，且?0?0,?0?0 又?2??0?2?2??
an2????2? at?3-3 一根质量为m，长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为?，求杆转动时受摩擦力矩的大小。
解：设杆的线密度为?。在杆上取一线元距转轴为r，质量为dm??dr。该线元在转动时受桌面摩擦力为
df??dN??d?mg???g?dr
?摩擦力方向与r垂直，故线元受摩擦力矩的大小为
dM?rdf??g?rdr
.
杆转动时受摩擦力矩的大小为
rM??dM???g?rdr??g?02l2l0l2??g?
2又m??l M?1?mgl 23-4 如图所示，一长为l，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为
2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转
动。开始杆与水平方向成某一角度?，处于静止状态，释放后，杆绕O轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩M与系统的角加速度?大小。
解：两小球对水平转轴的转动惯量为
3?l??l?J?m???2m???ml2
4?2??2?22
题3-4图
当杆转到水平位置时，小球和直杆所受合外 力矩为
题3-4图
M?2mg?ll1?mg??mgl 222由刚体的转动定律 M?J?
1mglM22g ????3J3lml243-5 如图(a)所示，一轻绳绕于半径
与轴承之间的摩擦不计。
r?0.2m的飞轮边缘，现以恒力F?98N 拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。 已知飞轮的转动惯量为J?0.5kg?m2，飞轮
大学物理第三章知识题选解
