知识点睛
【例8】 体会一下什么是包络线：就是一个曲线可以把我们给定的图形围起来。请分析下面的图形的
包络线：
女王的冲击波：
【例9】 二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v0沿各种角度发射，问：
当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？换句话讲,求一个虚线,这个虚线包围了所有可能被打到得范围.这个线我们叫做包络线.
【解析】
结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线．此抛物线为
v2在大炮上方h?处，以v0平抛物体的轨迹．
2g证明如下：
?x?v0cos?t??12 y?v0sin?t?gt??2消掉t得到
g1g2g222y?tan?x?2x?tan?x?xtan??x 222v0cos2?2v02v0处理方法有很多种：
第一种：
当做一个关于tan?的方程来处理：
则一定有解，并且在有重根的时候有可能取到包络线。因为包络线以内的任意点都有两种打击方式。
2v0gx2gx2gx2??x???2?(y?2)?0得到：y??2此际包络线
2v02v02g2v02
第二种：
可以看出，当任意给定一个x，都有一个y的最大值这个最大的ym满足的点一定是包络线上的点把y当做一个关于tan?的函数 求ym
2v0b?当tan???时候可以取到极值 2agx(ym,x)就
也就是
22?v0g2?v0gym?x?2x???2x2gx2v0?gx?2v0
22vgx?0?22g2v02于是就得到了包络线的数学表达式
【例10】 设湖岸MN为一直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成
??15?角方向匀速向湖中央驶去．有一人自A点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船．已知人在岸上走的速度为v1?4m/s，在水中游泳的速度为v2?2m/s．试问船速至多为多少，此人才能追上船？
【解析】 解法一 由等效法求解
如图，设人在B点刚好追上船，则人可能走很多途径，如A?C?B，A?D?B，A?E?B等等在这些路径中，费时最少者即对应着允许的最大船速．如图，在湖岸这边作?NAP?30?，自C、D、E各点分别向AP引垂线CK、DH（设BDH刚好为一直线）和EF．设想图中MN的下侧也变成是湖水区域，则人由K点游泳至C点的时间与人在岸上由
，故人按题给情况经路径A点走至C点的时间是相等的（因为v1?2v2，而AC?2KC）
A?C?B所用的时间和假想人全部在水中游过路径K?C?B等时．同理，与上述的另两条实际路径等时的假想路径是H?D?B和F?E?B．由于在这些假想路径中，速度大小都一样，故通过的路径最短费时最少，显然通过直线HDB费时最少．
由以上分析知，人沿等效路径HDB刚好在B点追上船时，
ABBH对应着允许船速的最大值，设其为v，则有． ?vv2由于△AHB为等腰直角三角形，故AB?2BH，故得
v?2v2?22?m/s?
解法二 由微元法求解
如图，设人在B点刚好能追上船，且在人到达B点的各种实际路径中，以自D处入水游泳所用的总时间最少，则若自D点左侧附近的某点C入水，必在D点右侧有一入水点E与之对应，使得在C点和E点入水两种情况下刚好追到船所用的总时间相等．在BC段上取BF?BE，则应有人走CE段
CECF和游CF段所用的时间相等，即． ?v1v2当C点无限靠近D点时，E点必同时向D点靠拢，由图可见此时将近似有EF?BC，故
CF1cos???，所以??60?．由于此时C点是无限靠近D点的，故BC与BD接近重合，
CE2即?BDN???60?．
由上得出：当人自某点入水沿与岸成角??60?方向游泳刚好追到船时，此情况下对应的船速为人能追上船的最大允许速度，设其为v，如图，过相遇点B作BK?BD交MN于K，因为??60?，所以DK?2DB．
又由于v1?2v2，则人游DB段与走DK段的距离所用的时间相等．故人自出发到在B点追上
ABAK船的时间等于他由A点走到K点的时间，即． ?vv1ABsin30?1在△ABK中，由正弦定理有，所以 ??AKsin135?2
?22?m/s? 2【例11】 （回忆这个题目，思考各种方法）三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长
为60cm．第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min．在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标．经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬了多少路程？
课后思考题：它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？若将蜗牛视为质点，那么它们在相遇前，绕着它们的最终相遇点转了多少圈？
【解析】 解法一：（相对速度法）
将蜗牛2的速度矢量在指向蜗牛1的方向和与之垂直的方向上分解（见图）．则两只蜗牛彼
13此靠近的相对速度为v?v?v?7.5cm/min，因此它们将在60cm/（7.5cm/min）=8 min
22后相遇．事实上，8 min后三只蜗牛将相遇在一起，由于它们的实际速度为5 cm/min，因此在相遇前，它们爬过的路程为40 cm． 解法二：（分速度法）
v?v1
将速度矢量在其他坐标系中分解可以得到相同的结果，比如以蜗牛为原点，指向三角形的中心为一个坐标轴，其垂直方向为另一个坐标轴，如图所示．很明显，最终蜗牛们将在中心点相遇，而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度(3/2)v?53/2cm/min爬向中心点．同时，围绕中心爬行的速度为v/2．
可以很容易计算出蜗牛在初始状态距离中心点60(3/3)cm，因此它们将在 60(3/3)cm5(3/2)cm/min后相遇． 解法三：
边长经历了非常小的一段时间?t之后，变成了： l'?l?v?t?v?tcos60o
所以边长减小的“速度”就是： v(1?cos60o)
l60??8min 所以总的时间应该为t?v(1?cos60o)5(1?1)2
?8min
模拟轨迹如下:线速度不变,角速度逐渐增加,半径不断减小的运动:
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高一物理竞赛讲义第5讲.教师版
