一. 待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)
若已知/(对的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求 出待定的参数，求得/(X)的表达式。
【例1】己知函数f(x)是一次两数，且满足关系式3f(x+l)-2f(x-1)二2X+17,求f(x)的解析式。 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设 f(x)=ax+b(a^O)则 f(x+l)=?, f(x-l)=?
解：设 f (x)=ax+b(a^O),由条件得：3-2=ax+5a+b=2x+17, .*.f (x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x),使得f (f)=8x+7 分析：所求的函数类型、已定，是一次函数。
设 f (x)=ax+b (a壬0)则 f {f [f (x) ] }=f {f [ax+b] }=f [a(ax+b)+b]=? 解：设 f (x)=ax+b (#0)> 依题意有 a[a(ax+b)+b]+b=8x+7
a3x+b (+a+l) =8x+7, .'.f (x)=2x+l
例、己知二次函数y = f(x)满足f(x-2) = f(-x-2),J@L图象在y轴上的截距为1,被兀轴线段长为2血，求函数y = /(x)的解析式。 分析：二次函数的解析式有三种形式： —、一般式：/(x) = ax2 +bx-\\-c (a / 0)
二、 顶点式：f(x) = a(x + h)2-^k其中dHO,点(/讥)为函数的顶点 三、 双根式：.f(x) = d(兀一兀|)(兀-兀2)其中与吃是方程/'(兀)=0的网根 解法 1：设 /(x) = ax2 +/?x + c (GHO),贝IJ
由y轴上的截距为1知：/(0) = 1,即c=l ①
/. /(x) = ax1 +bx-\\-{
由 f(x-2) = f(-x — 2)知：仇(兀一 2)2 + b(兀一 2) +1 = a(-x -2)2 + b(-x-2) + 1 整理得：(4^一/?)兀=0, 即：4a-b = 0
②
截得的 由被兀轴截得的线段长为2血知，-x2 |= 2V2 , 即-x2) =(x} +x2)-4xtx2 =8. 得：(--)2-4- = 8.
■ ? ~
22a a
整理得：b - 4a = 8a
22③
由②③得： 6/ = -,Z? = 2,???/U) =丄〒+2兀+ i.
2 2
解法2：由/(x-2) = /(-x-2)^n：二次函数对称轴为x = -2,所以设
/(x) = a(x + 2)2+Jt @工0)；以下从略。
解法3：由/ (兀-2) =/(-x —2)知：二次函数对称轴为x = -2；由被x轴截得的线段长为
2^2 知,
|西-兀2 1= 2迈；
易知函数与%轴的两交点为(-2-72,0),(-2 + V2,0),所以设
/(x)=。(兀 + 2 + V2)(x + 2-V2) (a 工 0),以卜?从略。
例 设/(x)是一次函数，H/[/(x)] = 4x + 3,求他
解：设/(x) = ?x + b
(。工0),贝q
/[/(x)] = af(x)+b = a(ax +b) + b= a2x + ab+b
?
a2 =4 ab +b =3
?
o = 2 [、 \\a = —2
\
t
b = l b = 3
J
fix) = 2x4-1 或 /(x) = -2x 4- 3
二、配凑法：已知复合函数刃g(x)】的表达式，求'(X)的解析式，力g(Ql的表达 式容
易配成/X)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/(X)的定义域不是原复合 函数的定义域，而是g(x)的值域。
1 。 1
例 己知/(% + -) = X2+—(X > 0),求f(x)的解析式
X
广
解：*.* f (x —) = (x —)~ — 2 ,
X
X
x H— n 2
X
:.f(x) = x2 —2 (x> 2) X
X 2
例.已知八一丄)—2 +厶,求/(兀)的解析式?
1 1 9 ?
=> f(x ----- ) = (x ----- )? + 2 => /(x) = Q + 2
X
X
练习.若/(V7+l) = X + 2V?，求/(X)
x = g-\\t)f然后代入/(g(x))的表达式，从而得到/(D的表达式，即为/(X)的表达式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例 已知 /(Vx +1) = x + 2y[x ,求 /(x + 1)
解：令2点十1,贝X=(/-1)2
Q f (長 +1) = x + 2^x /(/) = (/-l)2+2(r-l)=?-l, :.f(x)=x2-\\ (x>l)
f(x +1) = (x +1)2 -1 = x2 + 2x (x> 0)
例 已知 f (x-l)= X2-4X,解方程 f(x+l)=0 分析：如何由f(x-l),求出f(x+l)是解答此题的关键 解 1： f(x-l) = (x — 1)2-2 (x-l)-3, /.f(X) = X2-2X-3
f(x+l) = (x + l)2-2(x+l)-3=x2-4, A %2-4=0, x=±2
解 2： f(x-l) = x2-4x, Af (x+1) =f = (x + 2)2-4(x+2) = x2-41 :. x2-4=0, x=±2 解 3：令 x-l=t+l,则 x=t+2, Af (t+1) = (Z 4- 2) -4(t+2) = t-4
22
Af(x+l) = x2-4, A X2-4=0, ???x二±2
评注：只要抓住关键，采用不同方法都对以达到H的。 解法1,采用配凑法;
解法2,根据对应法则采用整体思想实现目的； 解法3,釆用换元法，
$ 四、利用给定的特性求解析式：一般为已知x>0时，f(x)的解析式，求x<0时，f(x) 的解析式。首先求出f (-X)的解析式，根据f (x) =f (-X)或f(x)二-f(-x)求得f(x) 例设/⑴是偶函数，当x>0时，/(兀) = \求当XVO时,/(兀)的表达式.
宙 x>0 时，/(x) = ^? x2 +ex,则/(—x) = e-(―x)2 + e-1 = ex2 +e~x 宙f(x)为偶函数，得f(x)=f(-x)?当M0时，\C) = Q?+尸
ex2 4-ex,x>0
故：i^=\\ex2+e~\\x 练习.对xGR, f{x)满足/(X)= —/(%+1),且当X丘吋，/(X)=兀2 + 2兀求当xW时/(X) 的表达式. I J 五.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则町以对变量进行置换，设法 构造方程 组，通过解方程组求得函数解析式。 例 设 /(X)满足/(Q - 2/(1)=兀,求 /(X) X 解 v /(X)- 2/(1) = X ① X 显然兀H 0,将兀换成一，得： /(-)-2/(x) = i ② X X 解① ②联立的方程组，得： 2 37 例 己知/(兀)满足2/(%) + /(-) = 3%,求/(兀) X 1 解 2/(%) + /(-) = 3x?, X 1 把①中的兀换成一，得2/(-) + /(%)=- 1 3 ②, ①x2-②得3/⑴=6兀-°, :.f(x) — 2x——? X XXX 例 设/(兀)为偶函数，g(x)为奇函数，又/(x) + g(x),试求/(兀)和g(x)的解析式 X-1
高中数学教师备课必备系列(函数的概念及性质)：专题六函数解析式的八种求法含解析.doc
