矩阵的特征值与特征向量专题讲解
一、内容提要
一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念
设A为n阶方阵，若存在数?和n为非零向量a?0,使Aa??a，则称?是A的特征值，a是属于?的特征向量；矩阵?E?A称为A的特征矩阵；?E?A是
?的n次多项式，称为A的特征多项式；?E?A=0称为A的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法
（1）计算A的特征值，即解特征方程?E?A=0；
（2）对每一个特征值?0，求出相应的齐次线性方程组??0E?A?X?0 一个基础解系?1，?2，...,?3,则属于?0的全部特征向量为k1?1?...?ks?s，其中k1,...,ks为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质
（1）A与AT的特征值相同（但特征向量一般不同）；
（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；
（4）设Aa??a?a?0?，则kA,Am,P?A?的特征值分别为k?,?m,P???，其中
P?x?为任一多项式，而a仍为相应的特征向量； （5）若A可逆，Aa??a?a?0?，则
1?是A的特征值；
?1A?是A*的特征值，
a仍为相应的特征向量；
（6）设?1，?2，...?n是n阶方阵的特征值，则有??i??aii?tr?A?（迹）；
i?1i?1nn??i?1ni?A;推论：A可逆当且仅当A的特征值全不为零；
（7）若A为实对称阵，则A的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。
二、相似矩阵 1、定义
设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵P，使P?1AP?B,称A与B相似，记为A～B； ２、A～B的性质
AT～BT,kA～kB,AM～BM,
P?A?～P?B?,其中P为任一多项式；r?A??r?B?,A?B,?E?A??E?B,
?特征值相同，tr?A??tr?B?；若A可逆，则B也可逆，且A?1～B?1。 三、矩阵对角化的条件及方法
１、若矩阵A与对角阵相似，则称A可对角化，
（１）n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量； （２）若A的特征值两两不同，则必可对角化。
２、实对称阵A必可对角化，且存在正交阵P，使P?1AP?? 实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下： （１）求出实对称矩阵A的全部特征值；
（２）若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；
若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；
（３）将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P
二、典型例题
题型１：求数字矩阵的特征值与特征向量
??3?12???例１（８７，６分）求矩阵A??0?14?的实特征值及对应的特征向量。
??101???解
?+3?E?A?011-2?4c3?2c2??1??30110?+10??12??2????1???2?4??5?， 0??1?E?A????1???2?4??5? 所以实特征值为 ??1，
?41?2??100??0???????1?E?A??02?4???01?2?，基础解系a??2?，
?100??000??1???????故属于特征值??1的所有特征向量为k?0,2,1?，k为任意非零常数。 例２ 设向量???a1,a2,...,an?,???b1,b2,...,bn?都是非零向量，且满足条件
TTT?T?=0，记矩阵A=??T，
求：（１）A2（２）矩阵A的特征值和特征向量。（９８，９分）
TT??解 （１）A2????T????T????????T?,T?因为?T?=0,所以????T?=0,?A2=O;
（２）设Ax??x,x?0,则A2x??Ax??2x，而A2?O，故?2x?0,而x?0，故??0，
解齐次线性方程组?0E?A?x?0 不妨设
a1?0,b1?0,??a1b1??a2b1??A?????anb1?a1b2?a2b2?anb2T...?a1bn??b1b2...bn???，可得基础解系 ...?a2bn??00...0?????????...?anbn??00...0?TT?b??b??b??1???2,1,0,...,0?，?2???3，0，1，...，0?,...,?n?1???n,0,0,...,1?于是
?b1??b1??b1?A的属于特征值??0的全部特征向量为c1?1?c2?2?...?cn?1?n?1，其中
c1,c2,...,cn?1是不全为零的任意常数。
?300?TT??例３（０９，４）设???1,1,1?,???1,0,k?,若矩阵??T相似于?000?，
?000???则k＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
?1??10k?????,解 ??T＝?1??1,0,k???10k?,由题意，tr???T??1?k?3?0?0即
?1??10k?????k?2。
??122???例４设A??2?1?2?,（１）求A的特征值；（２）求E+A-1的特征值。
?2?2?1????+1解
?E-A=?2-2??1?2?22?+12r2+r1??1??10????1????5??0， 2?+1?22??1?2?2所以A的特征值为１，１，－５；由特征值性质可知，A?1的特征值为１，
1１，?，
5设Aa??a(a?0),则P?A?的特征值为P???，其中P?x?为任一多项式，而?仍为相应的特征向量。于是E+A?1的特征值为２，２，
题型２ 特征值、特征向量的逆问题
4。 5?1??2-12?????例１（９７，６分，数一）已知???1?是矩阵A=?5a3?的一个特征
??1???1b?2?????向量，
（１）试确定参数a,b及特征向量?所对应的特征值； （２）问A能否相似于对角阵？说明理由。
?2?12??1??1??2?1?2??0???????解（１）?5a3??1???0?1???5?a?3??0??0??1,a??3,b?0
??1b?2???1???1???1?b?2???0????????2?12???A??5?33?，（２）
??10?2??????1是三重特征根，
??31?2??101??????E?A???52?3???011?,秩为２，所以只有一个线性无关的特征向
?101??000?????量，故A不可对角化。
?1c??a??b3?，其行列式A??1，又A的伴随矩阵A*有一例２ 设矩阵A=?5?1?c0?a???个特征值?0，属于?0的一个特征向量为????1,?1,1?求a,b,c和?0的值。 解 由题设，AA*?AE??E,A*a??0a,AA*a??0Aa,?a??0Aa,即有
T
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