2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
?1?cosx,?(1) 若函数 f(x)??ax?b,?(A) ab?x?0x?0 在x?0处连续，则 （ ）
11 (B) ab?? (C) ab?0 (D) ab?2 22(2) 设函数f(x)可导，且f(x)?f'(x)?0,则 （ ）
(A) f(1)?f(?1) (B) f(1)?f(?1) (C) f(1)?f(?1) (D) f(1)?f(?1)
(3) 函数f(x,y.z)?xy?z在点（1,2,0）处沿向量u?(1,2,2)的方向导数为 （ ） (A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 2
(4) 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线
22v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10, 20,
3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则
(A) t0?10 (B) 15?t0?20 (C) t0?25 (D) t0?25 (5) 设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则 （ ）
(A) E???不可逆 (B) E???不可逆 (C) E?2??不可逆 (D) E?2??不可逆
?????200??210??100???????(6) 已知矩阵A?021， B?020， C?020，
??????则 （ ）?001??001??002???????(A) A与C相似,B与C相似 (B) A与C相似,B与C不相似
(C) A与C不相似,B与C相似 (D) A与C不相似,B与C不相似
(7) 设A,B为随机概率，若0?P(A)?1,0?P(B)?1,则P(AB)?P(AB)的充分必要条件是
（ ）
(A) P(BA)?P(BA) (B) P(BA)?P(BA) (C)P(BA)?P(BA) (D) P(BA)?P(BA)
1n(8) 设X1,X2,...Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记x??xi则下列结论正确
ni?1的是 （ ）
(A)
?(x??)ii?1nin2222服从x分布 (B) 2(xn?x1)服从x分布
(C)
?(x?X)i?12222服从x分布 (D) n(X??)服从x分布
二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分. (9) 已知函数f(x)?''1(3)f(0)? ，则21?x'(10) 微分方程y?2y?3y?0的通解为y? (11) 若曲线积分
xdx?aydy22D?{(x,y)|x?y?1}内与路径无关，则a? 在区域22?Lx?y?1n?1(12) 幂级数
?(?1)n?1?nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)?
?101???(13) 设矩阵A??112?，?1，?2，?3为线性无关的3维列向量组，则向量组A?1，A?2，
?011???A?3的秩为
(14) 设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(x?4)，其中?(x)为标准正态分布2函数，则EX?
三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dxxd2y，2
dxx?0
x?0
(16)(本题满分10分)
求limkkln(1?) ?2x??nnk?133n(17)(本题满分10分)
已知函数y(x)由方程x?y?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值. (18)(本题满分10分)
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0，lim?x?0f(x)?0，证明： x(Ⅰ)方程f(x)?0在区间（0,1）内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程f(x)f(x)?(f(x))?0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。 (19)(本题满分10分)
22设薄片型物体S是圆锥面z=x?y被柱面z?2x割下的有限部分，其上任一点的密度
2'''2为. 记圆锥面与柱面的交线为C.
(Ⅰ)求C在xOy平面上的投影曲线的方程； (Ⅱ)求S的质量M. (20)(本题满分11分)
设3阶矩阵A???1,?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2. (Ⅰ)证明r(A)?2；
(Ⅱ)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解. (21)(本题满分11分)
设二次型f?x1,x2,x3??2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换x?Qy下的标
22222准形为?1y1??2y2，求a的值及一个正交矩阵Q.
(22)(本题满分11 分)
设随机变来那个为X，Y相互独立，且X的概率分布为P?X?0??P?X?2??1,Y的概2率密度为f?y????2y,0?y?1
?0,其他(Ⅰ)求P(Y?EY);
(Ⅱ)求Z?X?Y的概率密度. (23)(本题满分11 分)
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果X1,X2,...,Xn相互独立且均服从正态分布N??,??.该工程师记录的是
2n次测量的绝对误差Zi?Xi???i?1,2,Ln?，利用Z1,Z2,LZn估计?.
(Ⅰ)求Zi的概率密度；
(Ⅱ)利用一阶矩求?的矩估计量；
(Ⅲ)求?的最大似然估计量.
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
