二次函数与一元二次方程（2）
三维目标 一、知识与技能
1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义. 2.继续了解函数的零点与对应方程根的联系.
3.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质. 二、过程与方法
1.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.
2.通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力. 三、情感态度与价值观
通过现代信息技术的合理应用，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识.
教学重点
“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解. 教学难点
“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解. 教具准备
多媒体课件、投影仪. 教学过程
一、创设情景，引入新课
师：观察二次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?
引导学生探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f（1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即
f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x2－2x－3=0的另一个根.
我们能从二次函数的图象看到零点的性质：
1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.
2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
师：对任意函数，结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.
二、讲解新课 1.零点的性质
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·
f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）= 0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.
2.应用举例
【例1】 教科书P102例1.
本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.
（1）函数f（x）=lnx+2x－6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1
－3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.
（2）教科书上的表3－1，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.
（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、
h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是增函数.
【例2】 已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质： ①对任意实数x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2； ②对任意x1、x2∈（1，+∞），总有f（则方程ax2+bx+1=0根的情况是 A.无实数根
B.有两个不等正根 D.有两个相等正根
C.有两个异号实根
x1?x2f(x1)?f(x2)）＞. 22方法探究：（1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f（x）是凸函数，即a＜0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.
（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x1x2=f（x）=0有两个异号实根，故应选C.
方法技巧：解析（2）的求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.
【例3】 研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.
方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x2－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.
解：设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.
1＜0，可知 a
方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.
【例4】 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜（1）当x∈（0，x1）时，求证：x＜f（x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜
1. ax1. 2方法探究：由于已知二次方程f（x）－x=0的两个根，因此新出现的二次函数f（x）－x应有双根式、一般式两种表现形式.故本题一定是在此进行问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.
证明：（1）∵x1，x2是方程f（x）－x=0的两根，且f（x）=ax2+bx+c（a＞0）， ∴f（x）－x=a（x－x1）（x－x2）=a（x1－x）（x2－x）. ∵0＜x1＜x2，且x1＜x2＜
1，a＞0， a1（x1－x）=x1－x， a∴a（x1－x）（x2－x）＞0，
即f（x）－x＞0，a（x1－x）（x2－x）＜a·即f（x）－x＜x1－x. 故0＜f（x）－x＜x1－x， 即x＜f（x）＜x1.
（2）∵f（x）－x=ax2+（b－1）x+c，且f（x）－x=0的两根为x1，x2， ∴二次函数f（x）－x=0的对称轴为x=∴
x1?x2b?1=－. 22ax1xb1=－+－2. 222a2a又由已知，得x0=－∴
b， 2ax1x1=x0+－2. 222a又∵x2＜∴故
1， ax1－2＞0.
22ax1x1=x0+－2＞x0， 222ax1. 2即x0＜
方法技巧：函数与方程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想方法的转化往往是多次的. 三、课堂练习
教科书P103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）. 解答：
1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以方程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x（x－2）=－3无实根.
2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有一个零点.
又因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有一个零点.
（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有一个零点.
又因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有一个（3，4）上的零点.
四、课堂小结
1.本节学习的数学知识：
零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定. 2.本节学习的数学方法：
归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想. 五、布置作业 补充题：
1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所示，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是
A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称 B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有大于2的零点 C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点 D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点
2.方程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.
3.已知二次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内至少存在一个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.
板书设计
3.1.1方程的根与函数的零点（2）
二次函数零点的性质 零点的性质 例1 例2 例3 例4 课堂练习 课堂小结
高中数学二次函数与一元二次方程教案 新课标 人教版 必修1(A)
