圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF2|?2a。 1|?|MFx2y2y2x2椭圆的标准方程为：2?2?1（a?b?0）（焦点在x轴上）或2?2?1（a?b?0）（焦点在y轴
abab上）。
注：①以上方程中a,b的大小a?b?0，其中b?a?c；
222x2y2y2x22②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2的分
ababx2y2??1（m?0，n?0，m?n）当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m?n时母的大小。例如椭圆
mn表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
x2y2①范围：由标准方程2?2?1知|x|?a，|y|?b，说明椭圆位于直线x??a，y??b所围成的矩形里；
ab②对称性：在曲线方程里，若以?y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,?y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以?x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x，?y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x?0，得y??b，则B1(0,?b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a，即A1(?a,0)，
A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt?OB2F2中，|OB2|?b，|OF2|?c，|B2F2|?a，且|OF2|2?|B2F2|2?|OB2|2，即c?a?b；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e?222c叫椭圆的离心率。∵a?c?0，∴0?e?1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2?y2?a2。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|?|PF2||?2a）。
注意：①式中是差的绝对值，在0?2a?|F1F2|条件下；|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支；；②当2a?|F|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a表示两条射线；③当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。
（2）双曲线的性质
x2y2①范围：从标准方程2?2?1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x??a的外侧。即
abx2?a2，x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。
x2y2②对称性：双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
abx2y2是双曲线2?2?1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
abx2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里，对称轴是x,y轴，所
abx2y2以令y?0得x??a，因此双曲线和x轴有两个交点A(?a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2?2?1的顶点。
ab令x?0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
x2y2图上看，双曲线2?2?1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
ab⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a?b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征a?b，则等轴双曲线可以设为：x2?y2??(??0) ，当??0时交点在x轴，当??0时焦点在y轴上。
x2y2y2x2??1与??1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标⑥注意
169916轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程y?2px2?p?0?叫做抛物线的标准方程。
pp,0），它的准线方程是x?? ；
22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y??2px，x?2py，x??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
222
标准方程 y2?2px(p?0)y l y2??2px(p?0) x2?2py(p?0)y x2??2py(p?0) y l F图形 o F x F o x l o x 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 p(,0) 2px?? 2x?0 (?p,0) 2px? 2x?0 p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2y?0 y轴 y?0 y轴 x轴 (0,0) e?1 x轴 (0,0) e?1 (0,0) e?1 (0,0) e?1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。
4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点
?{
f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没
有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r
222
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r
(2)一般方程：①当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(?2
2
2
2
2
2
2
DE,?)半径22是
D2?E2?4F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
22
2
2D2E22)+(y+)=D?E-4F 224②当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-2
2
DE,-); 22③当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内，其中｜MC｜=(x0-a)?(y0-b)。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d?与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
方 标准 方程 程 x2y2??1(a?b>0) a2b2x2y2??1(a>0,b>0) a2b2y2?2px 参数方程 ?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）?x?2pt2?y?2pt(t为参数) ?范围 中心 ─a?x?a，─b?y?b 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b |x| ? a，y?R 原点O（0，0） x?0 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) 对称轴 x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2p 2准 线 a2x=± c准线垂直于长轴，且在椭圆外. a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c （c=a2?b2） x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=a2?b2） 离心率 【备注1】双曲线： e?c(0?e?1) ae?c(e?1) ae=1 ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
x2y2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与
abx2y2x2y2????互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0.
aba2b2⑸共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为
xy??0时，ab
它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线：
x2a2?y2b2??(??0).
pp,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐22pppp2标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开
2222（1）抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(口向上；
pp），准线方程y=，开口向下. 22p（2）抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?；抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
2p与焦点F的距离MF??x0
2pp2（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点
22抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
22pp2p2xx?,AF?x?则弦长AB=x1?x2+p或AB?(α为直线AB的倾斜角)，，(AFyy??p12112sin2?42叫做焦半径). 五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k ''x?x'?hy?y'?k或
x'?x?hy'?y?k
(x-h)2(y-k)2+=1 22ab椭圆 a2x=±+h ca2y=±+k c(x-h)2(y-k)2+ =1 22ba(h,±c+k)
(x-h)2(y-k)2-=1 22ab双曲线 (±c+h,k) a2x=±+k ca2y=±+k cx=-x=h y=k x=h y=k (y-k)2(x-h)2-=1 22ab(y-k)=2p(x-h) 2(h,±c+h) (p+h,k) 2p+h,k) 2p+k) 2p+k) 2p+h 2y=k (y-k)=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) 22(-x=p+h 2p+k 2y=k (h, y=-x=h (x-h)=-2p(y-k) 2(h,- y=p+k 2x=h 六、椭圆的常用结论： 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x0xy0yx2y2?2?1. ??15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过Pabx0xy0y?2?1. a2bx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点
ab角形的面积为S?F1PF2?btan2?2.
x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，即
abaKABb2x0??2。
ay0x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2； 12. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2ababab【推论】：
x2y2x2y2x0xy0yx2y2?2。椭圆2?2?11、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2abababab（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
x2y2是2?2?1. abx2y22、过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直
ab线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23、若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，
ab则
a?c???tancot. a?c22x2y24、设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
ab?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25、若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上
ab求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab
2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆22abA2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y28、已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
ab4a2b2a2b2111122
???;（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;（3）S?OPQ的最小值是22.
a?ba?b|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，
ab则
|PF|e?.
|MN|2x2y210、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2?x0?则?. aax2y211、设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?btan.
21?cos?x2y212、设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.(2) 2a?ccos?tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、
abB两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x0xy0yx2y2?2?1. ??15、若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y26、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
abP1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. a2bx2y27、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲
ab线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2.
x2y28、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)）当M(x0,y0)在右支上时，
ab|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a；当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
b2x0x2y211、AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2，
abay0即KABb2x0?2。 ay0x0xy0yx02y02x2y2在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.
ababab12、若P(0,y0)0xx2y2x2y2x0xy0y?2. 13、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2ababab【推论】：
x2y21、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时
abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，
ab则直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）.
ay0x2y23、若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,
ab?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y24、设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
ab中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y25、若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双
ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
x2y2222227、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.
abx2y28、已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.
ab4a2b2a2b2111122
???;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是2.
b?a2b?a2|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交
ab
x轴于P，则
|PF|e?.
|MN|2x2y210、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2则x0?或x0??.
aax2y211、设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?bcot.
21?cos?x2y212、设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.
|a?ccos2?|(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相
ab交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：
4ac?b2b①ay?by?c?x顶点(?).
4a2a2②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py x2??2py yy▲y▲y图形 OxxOxOxO p,0) 2 p,0) 2p) 2 p) 2 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 F(F(?F(0,F(0,?y?p 2x?0,y?R x??p 2x?0,y?R x?p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 x轴 y轴 （0,0） e?1 PF?p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 2圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c 抛物线 y^2=2px p>0 x∈[0,+∞) y∈R 关于x轴对称 (0,0) (p/2,0) 准线 x=±(a^2)/c x=-p/2
渐近线 离心率 焦半径 —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2 焦准距 通径 参数方程 p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 p 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y0·y=p(x+x0) 斜率为k的切线方程
y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k
圆锥曲线知识点总结（经典版）
