规范答题示范——解析几何解答题
x22
【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2＋y＝1→＝2NM→. 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP(1)求点P的轨迹方程；
→·→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OPPQ过C的左焦点F. [信息提取]
看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程；
→⊥PF→. 看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明OQ[规范解答]
→＝(x－x，y)，NM→＝(0，y)，
(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP00
………………………………………………………………………………1分
→＝2NM→得：x＝x，y＝2y， 由NP00
2
………………………………………………………………………………3分
x2y2
因为M(x0，y0)在C上，所以2＋2＝1， 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
………………………………………………………………………………5分
(2)证明 由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)， →＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)， 则OQ
→·→＝3＋3m－tn， OQPF
………………………………………………………………………………7分
→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)， OP
→→由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
………………………………………………………………………………9分
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. →·→＝0，即OQ→⊥PF→， 所以OQPF
………………………………………………………………………………11分 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
………………………………………………………………………………12分 [高考状元满分心得]
写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分.
写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题2
时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝2y，没有则不得→·→＝0，即OQ→⊥PF→，否则不得分，因此步骤才是关键
分；第(2)问一定要写出OQPF的，只有结果不得分. [解题程序]
→，NM→； 第一步：设出点的坐标，表示向量NP
→＝2NM→，确定点P，N坐标等量关系；
第二步：由NP
第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2； 第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系； →·→＝0，证明OQ⊥PF；
第五步：由OQPF第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论.
x22【巩固提升】 (2018·郑州质检)已知椭圆C：4＋y＝1，点O是坐标原点，点P→＝λOP→(λ>1，是椭圆C上任意一点，且点M满足OMλ是常数).当点P在椭圆C上
运动时，点M形成的曲线为Cλ. (1)求曲线Cλ的轨迹方程；
(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值.若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由.
?xy?
解 (1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为?λ，λ?.由于点P在椭圆C上，
???x?2?λ?
???y?
得4＋?λ?＝1，
??
x2y2
即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为4λ2＋λ2＝1(λ>1). (2)当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2， x＝±2，??
联立方程组?x222解得y＝±λ2－1，
＋y＝λ，??4得|AB|＝2λ2－1.
1
得S△OAB＝2|OP|×|AB|＝2λ2－1， 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m， y＝kx＋m，??
联立方程组?x22
＋y＝1，??4
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
y＝kx＋m，??
由Δ＝0，可得m2＝4k2＋1.联立方程组?x222
＋y＝λ，??4得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－λ2)＝0. 4（m2－λ2）8km
∴x1＋x2＝－2，xx＝.
4k＋1124k2＋116（4k2＋1）（λ2－1）
则|AB|＝1＋k·
4k2＋1
2
2
41＋k2·λ2－1＝，
4k2＋1
|m|
原点到直线l的距离为d＝＝
1＋k21
所以S△OAB＝2|AB|d＝2λ2－1.
4k2＋1
， k2＋1
综上所述，△OAB的面积为定值2λ2－1.
2020年高考数学专题五 规范答题示范
