人教版高中数学选修1-1课时作业
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
一、基础达标
1．下列命题中，正确的全称命题是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．?x，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数 [答案] D
[解析] A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D. 2．下列命题既是特称命题，又是真命题的是( ) A．两个无理数的和必是无理数 1
B．存在一个实数x，使x＝0 C．至少有一个实数x，使x2<0 D．有个实数的倒数等于它本身 [答案] D
1
[解析] A项为全称命题；B项x是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确． 3．下列特称命题是假命题的是( ) A．存在实数a，b，使ab＝0； B．有些实数x，使得|x＋1|<1；
C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
1
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1
D．有些实数x，使得(2)x<0. [答案] D
[解析] A真命题；B真命题；C真命题；D假命题． 4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( ) A．一次函数都不是单调函数 B．非一次函数都不是单调函数 C．有些一次函数是单调函数 D．有些一次函数不是单调函数 [答案] D
[解析] 命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．
5．(2013·重庆，理)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________． (1)对任意x∈R，都有x2＜0 (2)不存在x∈R，都有x2＜0 (3)存在x0∈R，使得x20≥0 (4)存在x0∈R，使得x20＜0 [答案] (4)
[解析] 全称命题的否定是特称命题．
a
6．已知命题p：“a＝1”是“?x>0，x＋x≥2”的充要条件，命题q：?x∈R，x2＋x＋1>0.则下列结论中正确的是________． (1)命题“p∧q”是真命题 (2)命题“p∧綈q”是真命题 (3)命题“綈p∧q”是真命题 (4)命题“綈p∨綈q”是假命题 [答案] (3)
a1
[解析] a＝1?x＋x＝x＋x≥2
1
x×x＝2，
2
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a
显然a＝2时也能推出“?x>0，x＋x≥2”成立， a
所以“a＝1”是“?x>0，x＋x≥2”的充分不必要条件， 故p是假命题，而q是真命题，故(3)正确． 7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形． 解 (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形． 二、能力提升
8．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________． [答案] 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
[解析] 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”． 9．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定________． [答案] 有些函数没有奇偶性
[解析] 命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．
10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
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[答案] [3,8)
[解析] 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8， 故实数m的取值范围是[3,8)．
11．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常数． (1)写出命题p的否定；
(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解 (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
??x－a≤0，
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组?的解集不为空集，
??x－b>0通过画数轴可看出，a、b应满足的条件是b 12．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围． 解 由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立． ∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a， ?f?1?≤0 则?， ?f?2?≤0 ??1＋2a＋2－a≤0∴?，解得a≤－3， ??4＋4a＋2－a≤0 ∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)． 三、探究与创新 13．已知命题p：?x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的范围． 解 ∵綈p是假命题， ∴p是真命题． 也就是?x∈R，有m＝－(4x－2x＋1)， 4 人教版高中数学选修1-1课时作业 令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1， ∴对任意x∈R，f(x)≤1. ∴m的取值范围是(－∞，1]． 5
高中数学选修1-1课时作业2：1.4.3 含有一个量词的命题的否定
