第六章 线性空间
1.设M?N,证明：MIN?M,MUN?N。
证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?NIM。又因
M?N?M,故MIN?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论
哪 一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以MUN?N。
2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。
证 ?x?M?(N?L),则x?M且x?N?L.在后一情形，于是x?M?N或x?M?L.所以x?(M?N)?(M?L)，由此得M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若
x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L. 在前一情形，x?M,x?N,因此
x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?NUL，得
x?M?(N?L),故(M?N)?(M?L)?M?(N?L),
于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。
（NIL），则x?M，x?NIL。 若x?MU因而x?（MUN）在前一情形Xx?MUN， 且X?MUL，。 I（MUL）在后一情形，x?N,x?L,因而x?MUN,且X?MUL，即X?（MUN）I（MUL）所以 （MUN）I（MUL）?MU（NUL）故 MU（NIL）=（MUN）I（MUL）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（a1，b1）（?a?b?（a1?a2，b1?b2?a1a2）
（kk?1）2k。（a1，b1）=（ka1，kb1+a12
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： koa?0； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：
koa?a；
8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
a?b?ab，koa?ak；
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如 （x?5）?（?x?2）?3。
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵} 因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
?=A?+B?=-A-B=-（A+B） ，A+B仍是反对称矩阵。 （A+B）??KA??K ，所以kA是反对称矩阵。 （KA）（?A）??（KA）故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，a-b）。对于数乘：
2nn1(1?1)2a)?(a,b),2l(l?1)2l(l?1)k(k?1)k.(l.(a,b)?k.(la,lb?a)?(kla,k[lb?a2]?(la)2)222l(l?1)2k(k?1)kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,k[lb?a]?(la)2)?(kla,a?(la)2)2222kl(kl?1)2?(kla,a?klb)?(kl).(a,b),2
(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?[(k?l)a,a?(k?l)b]2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,a?(k?l)b].21。（a，b）（。?1a，1。b?即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。
k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)
＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2)]， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)
k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2＝(ka1?ka2,kb1?a1?kb2?a2?k2a1a2)
22k(k?1)2k(k?1)2＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?a1??a2?k2a1a2?ka1a2)
22k(k?1)222＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?(a1?a2))，
2＝(ka1,kb1?即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1???0??.。
7）否，因为(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??)， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i)a?b?ab?ba?b?a;ii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c);iii)1是零元：a?1?a?1?a;1111iv)a的负元是:a??a??1,且?a?1;aaaav)1?a?a1?a;vi)(ko(loa))?ko(al)?(al)k?alk?akl?(kl)oa;vii)(k?l)oa?ak?l?ak?al?(ka)?(la);viii)ko(a?b)?ko(ab)?(ab)k?akbk?(koa)?(kob).
所以，所给集合R构成线性空间。
?4 在线性空间中，证明：1）k0?0 2）k(???)?k??k?。
证 1）k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0。
2）因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?。
5 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。
2证 因为cos2t?2cost?1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。
26 如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0，
不妨设k1?0,则f1(x)??kk2f2(x)?3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以
f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。
7 在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标。设
1）?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1?1),?4?(1,?1,?1,1),??(1,2,1,1)；
2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)。
?a?b?c?d?1?a?b?c?d?2?解 1）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，
a?b?c?d?1???a?b?c?d?1可得?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为a?5111,b?,c??,d??。 4444?a?2b?c?0?a?b?c?d?0?2）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，
3b?d?0???a?b?d?1可得?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为a?1,b?0,c??1,d?0。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pn?n；2）Pn?n中全体对称（反对
称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全
?100????1?3i0?,??体实系数多项式组成的空间,其中A=?0?。
2?00?2???解 1)Pn?n的基是E}(i,j?1,2,...,n),且dim(P?ijn?n)?n2。
???...2) i)令Fij????...?????.........1......1............??...??，即a?a?1,其余元素均为零,则
ijji?...????F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn? 是对称矩阵所成线性空间Mn 的一组基,所以Mn是
n(n?1)维的。 2???...ii)令Gij????...?????.........1......?1............??...??，即a??a?1,(i?j),其余元素均为零,则
ijji?...????G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn?1,n?是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基, 所以它是
n(n?1)维的。 2iii) ?E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn?是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是n(n?1)2维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性表出，即.a?(log2a)?2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
?1,n?3q?1?3i3?n4)因为??,??1,所以????,n?3q?1，
2??2,n?3q?2??1?22A?于是????4??1??E,n?3q?3???n?,A??1??E， 而A??A,n?3q?1。
??A2,n?3q?2??1?????9.在P中,求由基?1,，?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵,并求向量?在所指基下的坐
高等代数北大版第6章习题答案
