2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A.
B.
C.
，
D.
，
，则
（ ）
【答案】B 【解析】∵集合∴∵集合∴∴∵集合∴故选B.
2. 设是虚数单位，若A.
B.
C.
，， D.
，则复数
的共轭复数是（ ）
【答案】A 【解析】即
3. 已知等差数列
，其共轭复数为的前项和是，且
是常数 D.
，根据两复数相等的充要条件得
，故选A.........................
，则下列命题正确的是（ ） 是常数
，
A. 是常数 B. 是常数 C. 【答案】D 【解析】
，为常数，故选D.
4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设∴
，则
，
.
∴所求的概率为
故选A.
5. 已知点为双曲线：
（
，
）的右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一
半，则双曲线的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得
，双曲线的渐近线方程为
，即
.
∵点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半 ∴∴∴
.
，即，即
.
.
∴双曲线的离心率为故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造
的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中
与椭圆中
的关系不同．求双曲线离的齐次关系式,将用
心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立
表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 6. 已知函数
则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
，
，
的几何意义是以原点为圆心，半径
为的圆的面积的，故
7. 执行如图程序框图，则输出的的值为（ ）
，故选D.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第1次循环后，第2次循环后，第3次循环后，…
第次循环后，… 第第
次循环后，次循环后，
，不满足退出循环的条件，
；
.
，不满足退出循环的条件，
；
，不满足退出循环的条件，
； ；
；
，不满足退出循环的条件，，不满足退出循环的条件，
，满足退出循环的条件，故输出的的值为
故选C. 8. 已知函数
的相邻两个零点差的绝对值为，则函数
的图象（ ）
A. 可由函数的图象向左平移个单位而得
B. 可由函数的图象向右平移个单位而得
C. 可由函数的图象向右平移个单位而得
D. 可由函数【答案】B 【解析】
的图象向右平移个单位而得
（
，因为函数
的最小正周期为，
，
）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数
，而
故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.
9. A.
B.
的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ） C.
D.
【答案】A 【解析】令各项系数和为
，得
，故选A.
，而常数项为
，所以展开式中剔除常数项的
10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. 【答案】B
D.
【解析】由三视图可得该几何体是六棱锥，底面是边长为1的正六边形，有一条侧棱垂直底面，且长为2，可以将该几何体补成正六棱柱，其外接球与该正六棱柱外接球是同一个球． 故该几何体的外接球的半径
，则该几何体的外接球的表面积是
.
故选B.
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解； (2)若球面上四点
构成的三条线段
两两互相垂直，且
求解．
上异于原点的任意一点，过点作斜率为的直线交轴
并延长交抛物线于点，则
的值为（ ）
，一般把有关元素
“补形”成为一个球内接长方体，利用11. 设为坐标原点，点为抛物线：于点，点是线段
的中点，连接
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设点
，点
，则
，
. 的中点
∵过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段∴∴直线
的方程为
.
∴联立，解得，即.
∴
故选C. 12. 若函数
，
，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有
的类周期，函数
，当
是上的级类周期函数，若函数时，
函数
是定义在
恒成立，此时为
区间
内的2级类周期函数，且
，若，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
是定义在区间
内的级类周期函数，且
，当
时，
，
，故时，时，，而
当
上单调递减，当得
，即
时，时，
，
在区间
，当
上单调递增，故，故选B.
时，在区间，依题意
实数的取值范围是
【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）
；（3）.
，
只需
只需
；（2）
；（4）
，
，只需
，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量【答案】 【解析】∵向量∴∵∴
，即
，
.
，且
，
，且
，则
__________．
故答案为.
14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图所示：
联立由目标函数小，的最小值为故答案为
.
，解得化为
.
，由图可知.
过
时，直线
在轴上的截距最大，此时最
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15. 在等比数列
中，
，且与
的等差中项为，设
，
，则数列
的前
项和为__________． 【答案】
的首项为，公比为.
【解析】设等比数列∵∴∵与∴∴
，
，即
.
的等差中项为
，即.
.
∴∵∴数列
的前
项和为
.
故答案为.
的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为
的圆锥，现不考虑该容
16. 有一个容器，下部是高为
器内壁的厚度，则该容器的最大容积为__________． 【答案】
，故
.
.
时，
，即在
上为增函数；当
.
时，
，即在
上为减函数.
【解析】设圆柱的底面半径为，圆锥的高为，则∴该容器的体积∴当∴当
时，取得最大值，此时，
故答案为
点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果要与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知
的内角，，的对边，，分别满足．
，
，又点满足
（1）求及角的大小； （2）求
的值．
【答案】（1）,；（2）. 【解析】试题分析：（1）由从而得
．又
试题解析：（1）由即在
中，
，所以
，
．
，所以
及正弦定理化简可得即
，由余弦定理得
，所以及正弦定理得
；（2）由．
， ，得
，
又在所以（2）由
，所以．
，
中，由余弦定理得．
，得
，
所以．
中，底面
是正方形，且
，
．
18. 在四棱柱
（1）求证：；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线
的中点. ，，，
与
与平面所成角的正弦值为．
【答案】（1）证明见解析；（2）为【解析】试题分析：（1）连接性质可得又所以设
、
，从而得，所以、（
，平面
的交点为，连接，
，由（1）得
，则，由正方形的
；（2）由勾股定理可得
两两垂直．以点为坐标原点，
），求得
所以底面，，
的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系
，利用向量垂直数量积为零可得平面
，从而可得结果.
的一个法向量为
，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得
试题解析：（1）连接因为所以于是设
与
和．
的交点为，连接
是正方形，所以，所以平面，所以
，及
，从而
，、
、
，得
两两垂直．
底面
，所以
．
，知
，
，
平面
，则
， ． ，
，
，
均为正三角形，
，
，
，
，
又四边形而又又（2）由于是结合所以
，
如图，以点为坐标原点，则
，
，，
由设则
（
的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，
，
，
，
，易求得），
，即
．
，
所以设平面由设直线
．
的一个法向量为得与平面
令
， ，得
，
所成角为，则
，
解得或（舍去），
所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．
【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布
内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于
内的包数为，求的分布列和数学期望．
；
．
，利用该正态分布，求落在
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为②若【答案】（1）
，则
；（2）①
，
，②分布列见解析，.
【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布
；②根据题意得
，的可能取值为
，从而求出
，根据独立重复试验概率公式求出各
随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：
．
（2）①∵服从正态分布∴∴落在②根据题意得
内的概率是，
． ，且
，
，
，
；
∴的分布列为 0 1 ；；；.
2 3 4 ∴
．
20. 已知椭圆：
（1）求椭圆的标准方程；
的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，点的坐标为，问直线与的斜率之和
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 【答案】（1）
；（2）定值为.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质可得，即可求得，的值，从而可得椭圆的标准
方程；（2）联立直线与椭圆的方程得
，结合韦达定理，对
，根据判别式可得的取值范围，设
化简，从而可得出定值.
，
试题解析：（1）由已知可得解得，.
故所求的椭圆方程为．
（2）由得，则，解得或．
设，，则，，则，，
∴ ，
∴为定值，且定值为0．
点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题． （2）求定值问题常见的方法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知函数（1）若函数
在区间
，其中为自然对数的底数． 上是单调函数，试求实数的取值范围；
（2）已知函数范围． 【答案】（1）
，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值
；（2）.
，由函数的导数与函数单调性的关系，分
【解析】试题分析：（1）根据题意，由函数的解析式计算可得函数
在区间
上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答
求导分析可得
内不单调，在区间
，由在区间
，知
在区间
内恰有一个零点，在区间
内存在
案；（2）根据题意，对设该零点为，则
在区间内存在零点，同理，
零点，由（1）的结论，只需的取值范围.
试题解析：（1）由题意得间∴当函数∴
在区间上恒成立.
（其中
内两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，从而可得实数
，当函数在区间上单调递增时，在区
），解得；
在区间．
上恒成立，
上单调递减时，（其中
），解得
综上所述，实数的取值范围是（2）由
，知
在区间在区间
．
．
内恰有一个零点， 内不单调.
在区间
内存在零点.
设该零点为，则∴∴
在区间在区间
内存在零点，同理，内恰有两个零点． 时，
在区间
由（1）知，当时，∴∴函数记∴由
，得在区间
上单调递增，故在区间
在区间内至多有一个零点，不合题意．当
上单调递减，故
，得
内至多有一个零点，不合题意， ，
内单调递增．
．令在区间
上单调递减，在区间
, ，必有
.
，
的两个零点为，
，
．
∴又∵∴
．
，
， ，
综上所述，实数的取值范围为．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系
中，圆的参数方程为
（是参数，是大于0的常数）．以坐标
．
原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程； （2）分别记直线：值及线段
的长．
，
；（2），
.
，
与圆、圆的异于原点的交点为，，若圆与圆外切，试求实数的
【答案】（1）
【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得
圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式 即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心
，半径
别将
；圆的圆心
，半径
，
圆与圆外切的性质列方程解得
的长.
，分
代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段
（是参数）消去参数， ，
代入上式并化简，
，
试题解析：（1）圆：得其普通方程为将
，
得圆的极坐标方程
由圆的极坐标方程，得．
将，，代入上式，
． ，半径，
；圆的圆心
，半径
，
得圆的直角坐标方程为（2）由（1）知圆的圆心
∵圆与圆外切， ∴
，解得
，
．
即圆的极坐标方程为
将代入，得，得；
将故
代入，得
．
，得；
【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用
转化即可.
选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数（1）求不等式（2）若正数，满足【答案】（1）
． ；
，求证：
．
；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得
试题解析：（1）此不等式等价于
.
或
或
，所以
解得或或．
即不等式的解集为．
（2）∵，，
当且仅当即
∴当且仅当，即∴
．
，
，即
，
时取等号．
，
时，取等号．
全国百强校[衡水金卷]2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理科数学（解析版）
