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病毒扩散与传播的控制模型
摘要
本文基于传统的传染病模型，以微分方程的方法作为理论基础，结合采取的措施不同的情况，用MATLAB软件拟合出患者人数与时间的曲线关系，从中得出应采取的相应的应对措施。
在考虑地区总人数不变，人群被分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，再将这几类分为可传染性和不可传染性两种。我们找出单位时间正常人数的变化、单位时间潜伏期病人数的变化、单位时间确诊患者人数的变化、单位时间退出的人数的变化、单位时间疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模型，得到病毒扩散与传播的控制模型。
在此基础上，我们将所要求的问题带入模型得到患者人数随时间变化的曲线图，根据这图形得出模型结果的变化。这样一来就可根据这结果的变化得出相应的应对措施。
此外对该传染病的潜伏期及治愈期进行了灵敏度分析，发现潜伏期的变化会对整个模型的结果产生较大影响，而治愈期的变化只会使传染病的持续时间缩短，但对累积的患病人数影响不大。
应尽量避免患者与正常人接触，减少正常人患病的可能性；加大隔离措施强度；减少拖延患者去住院的时间，让患者及时住院治疗。养成良好的卫生习惯，保证科学睡眠，适当锻炼，减少压力，保证营养，增强个人抵抗力，降低被病毒感染的危险。
关键词：曲线关系 微分方程模型 病毒扩散与传播 一、问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为
d3d1~d2天，病患者的治愈时间为
天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数
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为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期的患者被隔离的百分数）。
要求：
1、在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型； 2、利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟 条件1：
d1?1,d2?11,d3?30,r?10；
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000； 条件3：隔离措施强度p?60%；
条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
3、若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？
4、若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p?40%，模拟结果有何变化？ 5、若仅将2中的条件1改为条件：化？
6、分析问题中的参数对计算结果的敏感性。
7、针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。
d1?1,d2?11,d3?30,r?250，模拟结果有何变
二、问题分析
在考虑地区总人数不变，人群被分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，我们可知，治愈者、死亡和正常人不可能传染病毒，我们把问题转化为如何找出正确的关系表达式来表达出每天病人增加的总数的问题，找出单位时间正常人数的变
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化、单位时间潜伏期病人数的变化、单位时间确诊患者人数的变化、单位时间退出的人数的变化、单位时间疑似患者人数的变化等关系建立微分方程模型，得到病毒扩散与传播的控制模型。
在问题一的已求出得到病毒扩散与传播的控制模型的基础上，我们将后几问所要求的问题带入模型就可得到患者人数随时间变化的曲线图，我们可以根据这些图得出模型结果的变化。这样一来就可根据这些模型结果的变化得出相应的应对措施。
三、模型假设
1、将病毒所有传播途径都视为与病原的接触；
2、在疾病传播期间所考察地区的总人数N视为常数，即认为本地区流入的人数与流出的人数相等，时间以天为计时单位； 3、该病毒处于潜伏期的病毒不具有传染性；
4、治愈者二度感染的概率为0，他们以退出传染体系，因此将他们归为“退出者”； 5、不考虑这段时间人口出生率和自然死亡率，而对于由病毒引起的死亡人数，也将其归为“退出者”；
6、被隔离的人群完全断绝与外界的接触，不再具有传染性；
7、不考虑被隔离而实际又未被感染者，因为这部分人没有自由活动，对疾病的传播（感染和被感染）基本不造成任何影响； 8、将人群分为以下四类： 正常人：易感染者 确诊患者：传染者
退出者：“治愈者”和“死亡者”统称；
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疑似患者：被隔离但还没有确诊或者排除的人员；
四、符号约定
I：确诊病人；
E：潜伏期病人（感染了但处于潜伏期没有传染性的人)； A：类似病人（症状类似感染但其实没有感染的人)； R：退出者（痊愈和死亡的确诊病人)；
S1：普通易感者；
?1：病人的传染系数；
?2：潜伏期病人的传染系数（假设潜伏期病人也有传染性，但?2小于?1）；
d1~d2：传染性病毒的潜伏期； d3：病患者的治愈时间； r：该人群的人均每天接触人数；
； p：可控制参数是隔离措施强度（潜伏期的患者被隔离的百分数）
五、模型的建立与求解
5．1 模型一 5.1.1 模型准备
根据人口守恒原理,可建立如下模型：
模型将疫区的总人口数看成不变(不考虑流动人口) ,将疫区所有的人(假设人口的自然出生率和死亡率在疫期相等)分为:
I：确诊病人
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E：潜伏期病人（感染了但处于潜伏期没有传染性的人) A：类似病人（症状类似感染但其实没有感染的人) R：退出者（痊愈和死亡的确诊病人)
S1：普通易感者
5.1.1.1 单位时间正常人数的变化：
dS1??新的感染病毒的人数?潜伏期病人的传染系数? dt（未隔离的感染的疑似患者人数?出院的疑似患者人数）?dS11????1I?t??1???S1??2?A?t??1????A?t???S1……………⑴ dtd3??5.1.1.2 单位时间潜伏期病人数的变化：
dE?未隔离的确诊患者的人数?（正常人数+未隔离的感染的疑似患者人数 dt?出院的疑似患者人数）-潜伏期病人感染了病毒转化为确诊患者人数?dE1?2??1I?t??1????S1?A?t??1????A?t????E…………⑵ dtdd?d3?12?5.1.1.3 单位时间确诊患者人数的变化：
dI?潜伏期病人感染了病毒转化为确诊患者人数-确诊患者治愈后转化为正常人数和死亡的确诊病人dt
dI21?E?I………………………⑶ dtd1?d2d35.1.1.4 单位时间退出的人数的变化：
dR?确诊患者治愈后转化为正常人数和死亡的确诊病人 dtdR1?I……………………………………⑷ dtd35.1.1.5 单位时间疑似患者人数的变化：
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