2020届高考数学(文)一轮复习讲义 第1章 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

思维升华 “p∨q”“p∧q”“?p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p，q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“?p”等形式命题的真假．

题型二 含有一个量词的命题

命题点1 全称命题、存在性命题的真假

例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A．?n∈R，n2≥n

B．?n∈R，?m∈R，m·n＝m C．?n∈R，?m∈R，m2

1

解析 对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，

2均不正确，故选B.

(2)下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R，2x1>0 C．?x∈R，lg x<1 答案 B

解析 当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定

例2 (1)已知命题p：“?x∈R，ex－x－1≤0”，则?p为( ) A．?x∈R，ex－x－1≥0 B．?x∈R，ex－x－1>0 C．?x∈R，ex－x－1>0 D．?x∈R，ex－x－1≥0 答案 C

解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得?p为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C. (2)(2018·福州质检)已知命题p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则?p是( ) A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0

－

B．?x∈N＋，(x－1)2>0 D．?x∈R，tan x＝2

C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 答案 C

解析 已知全称命题p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则?p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.

思维升华 (1)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A．?x∈R，log2x＝0 C．?x∈R，x2>0 答案 C

解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.

(2)已知命题p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( ) A．p是假命题；?p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命题；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命题；?p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命题；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0 答案 B

解析 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0， 所以p是假命题；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.

B．?x∈R，cos x＝1 D．?x∈R，2x>0

题型三 命题中参数的取值范围

例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________． 答案 [e,4]

解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．

1?x(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝??2?－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________． 1?答案 ??4，＋∞?

解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， 1

g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，

411得0≥－m，所以m≥. 44引申探究

本例(2)中，若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________． 1

，＋∞? 答案 ??2?

1

解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，

211

由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.

22

思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．

(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．

15

跟踪训练2 (1)已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围

2是______________． 5?答案 ??6，＋∞?

解析 由“?x∈R，x2－5x＋

15

a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式2

15

x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．

2

15

设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．

2155

故Δ＝25－4×a<0，解得a>，

265?即实数a的取值范围为??6，＋∞?.

1?

(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈??2，2?时，函数f(x)11

＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．

xc1

0，?∪(1，＋∞) 答案 ??2?解析 由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋≤，

x21111

要使x＋>恒成立，需<2，即c>，

xcc2若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， 则p，q中必有一真一假，

1

当p真q假时，c的取值范围是0

2当p假q真时，c的取值范围是c>1.

1

0，?∪(1，＋∞)． 综上可知，c的取值范围是??2?

常用逻辑用语

有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断

例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①?x∈R，－x2＋x－1<0； ②?x∈R，|x|>x；

③?x，y∈Z，2x－5y≠12； ④?x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0. 答案 ①

解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．

(2)(2018·哈尔滨联考)已知命题p：?x∈R，3x<5x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( ) A．p∧q C．p∧(?q) 答案 B

解析 若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题， ∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题， ∴(?p)∧q是真命题． 二、充要条件的判断

例2 (1)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 B．(?p)∧q D．(?p)∧(?q)