一、选择题
1．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为60?，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，在菱形ABCD中，过点C作CE?BC交对角线BD于点E，且DE?CE，若
AB?3，则DE等于（ ）
A．1
B．
3 22 2C．
1 2D．
3 322 33．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则sinB的值为（ ） A．
1 2B．C．
3 2D．
4．在RtABC中，?C?90?,AC?2,AB?6，则下列结论正确的是（ ） A．sinA?1 3B．cosB?2 4C．tanA?22 D．tanB?22
35．如图，已知ABC中，?CAB??B?30?，AB?23，点D在BC边上，把ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得AB?D，则ABC与AB?D重叠部分的面积为（ ）
A．3?3 2B．
3?1
2
C．3?3 D．
3?3 66．△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且c2?4ac?4a2?0，则sinA+cosA的值为（ ） A．
1?3 2
B．
122 C．
2?3 2D．2
7．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，
A和直线l上分别存在点B，点C和点D，
使得四边形ABCD是矩形（点A,B,C,D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，右图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．若点A?3,4?，则直线
y?kx?1?k?0?的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12
B．314 C．42 D．32 8．如图，在3?3正方形网格中，ABC的顶点都在格点上，则sin?CAB?( )
A．3 2B．
2 2C．
1 2D．3 39．在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则sin∠AOB的值为（ ）
A．
1 2B．5 5C．25 5D．85 105 510．在ABC中，?C?90?，tanA?2，则sinA的值是（ ） A．
2 3B．
1 31 2C．25 5D．11．cos45°的值为（ ） A．1
B．
C．
2 2D．3 212．如图，斜坡AP的坡比为1∶2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座高楼BC，在斜坡底P处测得该楼顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该楼顶B的仰角为76°，楼高BC为
18m，则斜坡AP长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，sin76?0.97，
cos76?0.22，tan76?4.5）（ ）
A．30m
B．28m C．26m D．24m
二、填空题
13．江堤的横断面如图，堤高BC?10米，迎水坡AB的坡比是1:3，则堤脚AC的长是______．
14．正方形ABCD、正方形FECG如图放置，点E在BC上，点G在CD上，且BC＝3EC，则tan∠FAG＝_____．
15．如图，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使得点B落在矩形内点B?处，折痕为CE．
（1）点B?恰好为AC中点时，
AE的值为______． BEAE的值为______． BE（2）点B?在AC上且D、B?、E在同一条直线上时，
16．在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．
17．在AOB中，?AOB?90?，?ABO?30?，将AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为??0????180??，得到AOB11．
（1）如图1，连接AA1、BB1，设AOA1和BOB1的面积分别为S1、S2．则
S1:S2?__________．
（2）如图2，设OB中点为Q，A1B1中点为P，连接QP，若AO?1，当??_______?时，线段QP长度最小，最小值为_____________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝
3，则CE =_____． 4
?1?3?tanB19．在ABC中，若sinA??????0，则?C的度数为__________． 2?3??20．若cos2A?21?tanB?3?0，那么ABC的形状是_____． 2三、解答题
21．如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i?1:2的山坡CF，点C与点
B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，
在坡底C处测得楼顶A的仰角为45?，然后沿坡面CF上行了205米（即CD?205米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为26.7?．（参考数据：
sin26.7??0.45，cos26.7??0.89，tan26.7??0.50）
（1）求点C到点D的水平距离CE的长； （2）求楼AB的高度．
22．在ABC中，?ACB?90?，CA?CB?2，点P是边AB的中点，连接CP．
（1）如图①，B的大小＝______（度），AB的长＝______；CP的长＝______； （2）延长BC至点O，使OC?2BC，将ABC绕点O逆时针旋转??0?????180??得到A?B?C?，点A，B，C，P的对应点分别为A?，B?，C?，P?． ①如图②，当?可）．
23．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为34 m，从甲建筑物的顶部A处测得乙建筑物的顶部D处的俯角为48°，测得乙建筑物的底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．（结果精确到0.1m．参考数据：sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）
?30?时，求点C?到直线OB的距离及点C?到直线AB的距离；
②当C?P?与ABC的一条边平行时，求点P?到直线AC的距离（直接写出结果即
24．计算：2sin45??3?8?(?2)0 2?125．如图，四边形OBAC中，OB?OC，且满足?BAC?90?，连结AO．
（1）如图1，当?AOB?45?时，求证：AB?AC．
（2）如图2，若tan?AOB?2AB，求的值． 5AC（3）如图3，延长CA，OB交于点D，连结BC，过点D作DF?AC，若OB?2，
OC?OD?6．试探究：在射线DF上，是否存在点E，使得DCE的某一个内角等于
?BCO的2倍？若存在，连结EO，求tan?EOB的值；若不存在，请说明理由．
26．为了方便市民出行，县政府决定从“七星广场”河堤到对岸修建一座便民桥．为测量河的宽度，在河的对岸取一点A，在广场河边取两点O,B测得点A在点O的北偏东60?方向，测得点A在点B北偏东45?方向，量得OB长为50米，求河的宽度AC（结果保留根号）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE为矩形，AE=CD=6米，AC=DE．设BE=x米，先解Rt△BDE，得出DE=3x米，AC=3x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB-BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知，四边形ACDE为矩形， 则AE=CD=6米，AC=DE． 设BE=x米．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠BDE=30°， ∴DE=
BE?3BE=3x米，
tan30?∴AC=DE=3x米．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°， ∴AB=ACtan60??∵AB-BE=AE， ∴3x-x=6， ∴x=3，
AB=3×3=9（米）． 即旗杆AB的高度为9米． 故选：C． 【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
3AC=3×3x=3x米，
2．A
解析：A 【分析】
由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出?CBD?30?，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案． 【详解】 解：由题意， 在菱形ABCD中，有 AB=BC=CD=3， ∴?CBD??CDB， ∵DE?CE， ∴?ECD??CDB，
∴?BEC??ECD??CDB?2?CDB?2?CBD， ∵CE?BC，即?BCE?90?， ∴?CBD??BEC?90?， ∴3?CBD?90?， ∴?CBD?30?， 在Rt△BCE中，有
tan?CBD?tan30??CE， BC∴
CE3， ?33∴CE?1． 故选：A． 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出?CBD?30?．
3．D
解析：D 【分析】
设BC=a，则AB=3a，根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求sinB． 【详解】
解：设BC=a，则AB=3a，
AC?AB2?BC2?9a2?a2?22a，
sinB=
AC22a22， ??AB3a3故选：D． 【点睛】
本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．
4．C
解析：C 【分析】
根据勾股定理求出BC?42，再根据三角函数的定义计算即可； 【详解】
∵在RtABC中，?C?90?，AC?2，AB?6， ∴BC?42， ∴sinA?BC4222，故A错误； ??AB6322，故B错误； 3cosB?sinA?tanA?BC42??22，故C正确； AC2tanB?AC?2?2，故D错误； BC424故选：C． 【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．
5．A
解析：A 【分析】
首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝23，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′?AC＝23?2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案． 【详解】
过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，
∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB?23， ∴AC＝BC，AF＝
1AB=3， 2∴AC＝AF÷cos∠CAB＝3÷3=2， 2由折叠的性质得：AB′=AB?23，∠B′＝∠B＝30°， ∵∠B′CD＝∠CAB＋∠B＝60°， ∴∠CDB′＝90°， ∵B′C＝AB′?AC＝23?2， ∴CD＝∴DE＝
13B′C＝3?1，B′D＝B′C?cos∠B′＝（23?2）×=3?3， 22CD?B?D(3?1)?(3?3)3?3 ＝?B?C223?2113?33?3AC?DE＝×2×= 2222∴S阴影＝故选：A． 【点睛】
此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
6．A
解析：A
【分析】
由c2?4ac?4a2?0得c?2a，则sinA?三角函数值就可以求出结果． 【详解】
解：∵c2?4ac?4a2?0， ∴?c?2a??0，即c?2a，
2a1?，即可得到?A?30?，利用特殊角的c2∵?C?90?，
a1?， c2∴?A?30?，
∴sinA?∴cosA?3， 2∴sinA?cosA?故选：A． 【点睛】
3?1． 2本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
7．B
解析：B 【分析】
过点A作AF?y轴于点F，连接AO、AC，如图，根据点A(3,4)在直线y?kx?1上可求出k，设直线y?x?1与y轴相交于点G，易求出OG?1，?FGA?45?，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“理想矩形” ABCD面积． 【详解】
解：过点A作AF?y轴于点F，连接AO、AC，如图．
点A的坐标为(3,4)，
?AC?AO?32?42?5，AF?3，OF?4．
点A(3,4)在直线y?kx?1上， ?3k?1?4，
解得k?1．
设直线y?x?1与y轴相交于点G， 当x?0时，y?1，点G(0,1)，OG?1， ?FG?4?1?3?AF，
??FGA?45?，AG?32?32?32．
在Rt?GAB中，AB?AGtan45??32．
在Rt?ABC中，BC?AC2?AB2?52?(32)2?7．
?所求“理想矩形” ABCD面积为ABBC?32?7?314；
故选：B． 【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
8．B
解析：B 【分析】
利用勾股定理可得AC＝10，BC＝5，AB＝5，从而可得∠ABC＝90°，在Rt△ABC中求解sin∠CAB的值即可． 【详解】
由勾股定理，得：AC＝12?32?10，BC＝12?22?5，AB＝12?22?5， ∵AB2＋BC2＝AC2， ∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝故选：B． 【点睛】
此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是求出AB、AC、BC的长度，判断出△ABC是直角三角形．
BC＝AC52＝． 2109．C
解析：C 【分析】
根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，利用勾股定理求出OA，再根据锐角的正弦值等于对边比斜边求解． 【详解】 如图：AE⊥OB，
在Rt△AOE中，AE=4，OE=2，
∴OA?AE2?OE2?25， AE425, ??OA255∴sin∠AOB=故选：C．
【点睛】
此题考查求网格中角的三角函数值，熟记角的三角函数值的计算公式，并正确确定角所在的直角三角形是解题的关键．
10．C
解析：C 【分析】 由tanA=
BC=2，设BC=2x，可得AC=x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=5x，然后利AC用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值． 【详解】 解：由tanA=
BC=2，设BC=2x，则AC=x， AC∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=BC2?AC2?因此，sinA=故选：C． 【点睛】
本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．
?2x??x2?5x，
2BC2x25， ??AB55x11．C
解析：C 【分析】
直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论； 【详解】
∵cos45°?故选：C． 【点睛】
2 ， 2本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
12．C
解析：C 【分析】
先延长BC交PD于点D，在Rt△ABC中，tan76°=
BC，BC=18求出AC，根据BC⊥AC，ACAC∥PD，得出BE⊥PD，四边形AHEC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，过点A作
AH5?，设AH=5k，则PH=12k，HP12AP=13k，由PD=BD，列方程求出k的值即可． 【详解】
解：延长BC交PQ于点D． ∵BC⊥AC，AC∥PQ， ∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH，AC=DH． ∵∠BPD=45°， ∴PD=BD．
AH⊥PD，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出在Rt△ABC中，tan76°=∴AC=4（米）．
过点A作AH⊥PQ，垂足为点H． ∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
BC，BC=18米， ACAH5?，设AH=5k，则PH=12k， HP12由勾股定理，得AP=13k． 由PH+HD=BC+CD得： 12k+4=5k+18， 解得：k=2，
∴AP=13k=26（米）． 故选：C．
∴
【点睛】
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
二、填空题
13．米【分析】在Rt△ABC中已知了坡面AB的坡比是铅直高度BC和水平宽度AC的比值据此即可求解【详解】解：根据题意得：BC：AC=1：解得：AC=BC=10（米）故答案为：10米【点睛】本题考查了解直
解析：103米 【分析】
在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比是铅直高度BC和水平宽度AC的比值，据此即可求解． 【详解】
解：根据题意得：BC：AC=1：3， 解得：AC=3BC=103（米）． 故答案为：103米． 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键．
14．【分析】根据题意可以设EC=a然后即可得到ADDG和AG的长然后作FH⊥AG利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH和FH的长从而可以得到tan∠FAG的值【详解】解：作FH⊥AG于点H∵正方形FEC
1解析：
5【分析】
根据题意，可以设EC=a，然后即可得到AD、DG和AG的长，然后作FH⊥AG，利用锐角三角函数和勾股定理可以得到AH和FH的长，从而可以得到tan∠FAG的值． 【详解】
解：作FH⊥AG于点H， ∵正方形FECG，
设EC＝FG=a，则BC＝AD＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，DG＝BE＝2a， ∴AG＝AD2?DG2＝13a，
2a213∴sin∠DAG＝＝，
13a13∵AD∥GF， ∴∠HGF＝∠DAG， ∴sin∠HGF＝∵sin∠HGF＝∴
213， 13HF， GFHF213＝， a13213a， 13解得HF＝∴HG＝
313a， 13∴AH＝AG﹣HG＝13a﹣
1013313a＝a， 1313213aFH113∴tan∠FAH＝＝＝， AH10135a13即tan∠FAG＝故答案为：
1， 51． 5
【点睛】
本题考查正方形的性质、锐角三角形函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．【分析】（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90°当点恰好为中点时则设则由题知：∴∴∵△ABC和△E 解析：
【分析】
（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果； （2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果； 【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，
当点B?恰好为AC中点时，AC?2BC，则AB?设BC?x，则AC?2x，AB?由题知：EB??AC， ∴S△AEB??S△B?CE?S△EBC， ∴S△AEC?2S△EBC， ∵△ABC和△EBC的高都是BC， 设BC?x，
5?1 23BC，
3x，
S△AECAE??2； ∴BES△EBC故答案是2．
（2）点B?在AC上且D、B?、E在同一条直线上时， 设ABa，BC?b，BE?x， ∵B?E?AC， ∴B?D?AC， ∴cos?ACD?∴
CDB?C?， ACCDaa2?b2?a， b5?12a， 22a4?b4?a2b2，可得到：b2?∴
?a?b?b22?2?x2??a?x?，
∴a2?b2?2ba2?b2?b2?x2?a2?2ax?x2， ∴2ax?2ba2?b2?2b2，
∴2ax?2ba2?5?12a?2?5?1a2，
??5?12??5?12?2ax?2?a??a???2??2?????2ax?2a2?解得：x??5?1a2，
?5a2?a2，
3?5a， 2∴AE?a?∴
3?5a?25?1a， 2AE1?5； ?BE25?1． 2故答案是：【点睛】
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，结合余弦的定义计算是解题的关键．
16．【分析】根据题意在MA的运动过程中A在以M为圆心AD为直径的圆上的弧AD上运动当AC取最小值时由两点之间线段最短知此时MAC三点共线得出A的位置进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可【详解】如图作 解析：27?2
【分析】
根据题意，在MA'的运动过程中，A'在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A'C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A'、C三点共线，得出A'的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A'C的长即可. 【详解】
如图，作ME⊥CD于点E.
∵M是AD边的中点， ∴MA=2
∵线段M A绕点M旋转得线段MA'. ∴MA'=2
∵菱形ABCD中，∠A＝60° ∴∠EDM =60°， 在直角△MDE中，
DE= MD · cos ∠EDM=
1?2?1 23=3 2ME =MD · sin ∠EDM =2×则EC =CD＋ED=4+1=5 在直角△CEM中
MC =CE2?ME2?52???32?27 当A'在MC上时，A'C最小， 则A'C长度的最小值是:27-2 故答案为：27-2 【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A'点位置是解题关键.
17．1∶330【分析】（1）由旋转的性质解得继而证明结合30°的正切值再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接根据三角形三边关系得到当在同一直线上时线段长度最小由直角三角形斜边中线的
解析：1∶3 30 1?【分析】
（1）由旋转的性质，解得OA?OA1,OB?OB1,?AOA1??BOB1??，继而证明
3． 2AOA1BOB1(SAS)，结合30°的正切值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平
方解题即可；
（2）连接OP，根据三角形三边关系得到当O、Q、P在同一直线上时，线段QP长度最小，由直角三角形斜边中线的性质结合含30°角的直角三角形性质，可证OA1P是等边三角形，继而解得OP、OQ的长，最后由PQ=OP?OQ解题即可． 【详解】 解：（1）
旋转
?OA?OA1,OB?OB1,?AOA1??BOB1?? ?AOA1、BOB1均是等腰三角形
OAOA13??tan30?? OBOB13?AOA1相似比k?BOB1
3 3?k2?(321)? 33?S1:S2?1：3
故答案为：1∶3； （2）连接OP， 在OQP中，
OQ?QP?OP
当O、Q、P在同一直线上时，
OP有最小值，即PQ=OP?OQ有最小值， 当O、Q、P在同一直线上时， P是A1B1的中点，
?OP=1A1B1=A1P 21A1B1 2?A1B1O??ABO?30?
?OA??OP=A1P=OA1
?OA1P是等边三角形， ??A1OP?60?
??AOA1?90??60??30?
???30?
OA?1 ?OP?1，OB?Q为OB中点，
OA?3 tan30?13 ?OQ?OB?22?PQ?1?3． 2
【点睛】
本题考查旋转的性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、正切、三角形三边关系、等边三角形的判定与性质等知识，在重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
18．3【分析】证明∠CEF=∠CFE得到CE=CF过点F作FH⊥AB于H根据角平分线的性质得到FC=FH设FH=x根据tanB＝求出BC=8根据勾股定理求出FB=得到解之即可得到答案【详解】证明：∵在R
解析：3 【分析】
证明∠CEF=∠CFE得到CE=CF，过点F作FH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到FC=FH，设FH=x，根据tanB＝FB=FH?BH?得到
2243求出BC=8，BH?x，根据勾股定理求出
345x， 35x?8?x，解之即可得到答案． 3【详解】
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAE=∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF，
∵∠CEF=∠ACD+∠CAE，∠CFE=∠B+∠BAF， ∴∠CEF=∠CFE ∴CE=CF，
过点F作FH⊥AB于H，
∵AF平分∠CAB，FC⊥AC，FH⊥AB， ∴FC=FH， 设FH=x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanB＝∴BC=8， ∴FC=x，FB=8-x， ∵tanB?∴BH?3， 4FH3?， BH44x， 322∴FB=FH?BH?5x， 35x?8?x， 3解得x=3，
∴CE=FC=FH=3， 故答案为：3．
∴
．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，等角对等边的判定，勾股定理，利用锐角三角函数求边长，题中证得CE=FC并引出辅助线解决问题是解题的关键．
19．120o【分析】根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=tanB=根据特殊角的三角函数值可得出∠A∠B的度数根据三角形内角和定理即可得答案【详解】∵∴sinA-=0-tanB=0∴sinA=tan
解析：120o 【分析】
根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=
13，tanB=，根据特殊角的三角函数值可得23出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】
2?1?3?tanB∵sinA??????0， 2?3??∴sinA-∴sinA=
13=0，-tanB=0， 2313，tanB=， 23∴∠A=30°，∠B=30°， ∠C=180°-30°-30°=120°， 故答案为：120° 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形内角和定理，根据非负数性质得出sinA=
13，tanB=，并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 2320．锐角三角形【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数然后根据三角形内角和求出∠C的度数即可得到答案【详解】∵∴cos2A-=0tan-=0∴cosA=（负值舍
解析：锐角三角形 【分析】
根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案． 【详解】 ∵
cos2A?1?tanB?3?0， 2∴cos2A-
1=0，tan-3=0， 2∴cosA=?2（负值舍去），tanB=3， 2∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
三、解答题
21．（1）40米；（2）楼AB的高度为80米． 【分析】
（1）由CF的坡度i?1:2，DE?CE,可得理可得CD?DE1?, 设DE?x, 则CE?2x, 由勾股定CE2DE2?CE2?5x, 再列方程5x?205, 解方程可得答案；
（2）如图，过D作DH?AB于H, 先证明四边形DEBH是矩形，可得
BH?DE?20，DH?BE?CE?BC?40?BC, 设AB?m, 证明BC?AB?m, 可
得AH?m?20,DH?m?40, 由?ADH?26.7?, 建立方程，再解方程检验即可得到答案． 【详解】 解：（1）
CF的坡度i?1:2，DE?CE,
?DE1?, CE2设DE?x, 则CE?2x,
?CD?DE2?CE2?5x,
?5x?205, ?x?20,
?CE?2x?40.
（2）如图，过D作DH?AB于H,
DE?BE,AB?BE,
? 四边形DEBH是矩形，
?BH?DE?20，DH?BE?CE?BC?40?BC,
设AB?m,
?ACB?45?，AB?BE,
??ACB??BAC?45?, ?BC?AB?m,
?AH?m?20,DH?m?40,
由?ADH?26.7?,
?tan26.7???0.5?AH, DHm?20, m?40解得：m?80.
经检验：m?80符合题意，
所以：建筑物AB的高为：80米． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．
22．（1）45°，22，2；（2）①?点C?到直线OB的距离为2；点C?到直线AB的距离为22?6；②4?22或4?32或5 【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可 （2）①过点C?作C?D?OB，垂足为点D，过点C?作C?E?AB，交BA的延长线于点E，连接AC?，解直角三角形求出C?D、C?E即可；
②分三种情况：当P?C?//AC时，延长P?C?交OB于H；当P?C?//AB时，过点P?作
P?H?OB交BO的延长线于点H，交A?C?于T；当P?C?//AC时，延长P?C?交OB于H
分别画出图形求解即可 【详解】
解：（1）在ABC中，?ACB?90?，CA?CB?2
??B??A?45?
sinB?CA2 ?AB2点P是AB的中点
?CP?1AB?2 2故答案为：45°，22，2．
（2）①过点C?作C?D?OB，垂足为点D，
过点C?作C?E?AB，交BA的延长线于点E，连接AC?，
将ABC绕点O逆时针旋转?得到A?B?C?，
?OC??OC?2BC?2?2?4． 在Rt△OC?D中，
11?O?30?，?C?D?OC???4?2．
22?点C?到直线OB的距离为2.
OD?OC?2?C?D2?42?22?12?23 C?D?OB，?ACB?90?，??C?DB??ACB?90?．
?AC//C?D．
C?D?2，AC?2，?C?D?AC． ?四边形C?DCA是平行四边形．
?C?A?DC?OC?OD?4?23，C?A//DC，
??EAC???B?45?．
??EC?A?90???EAC??90??45??45?． ??EAC???EC?A． ?C?E?AE． 在Rt△AC?E中，
C?E2?AE2?C?A2，
C?A222．C?E??C?E?C?A?4?23?22?6． 2222???点C?到直线AB的距离为22?6．
②如图：当P?C?//AC时，延长P?C?交OB于H
P?H//AC
??OHC???AOC?90? OC?H??B?C?P??45? ?OH?OC??cos45??22 ?CH?OC?OH?4?22 ?点P?到直线AC的距离为4?22 如图，当P?C?//AB时，过点P?作P?H?OB交BO的延长线于点H，交A?C?于T，
由题意可得四边形OHTC?是矩形，OH?C?T?1
?CH?OC?OH?1?4?5
?点P?到直线AC的距离为5
如图，当P?C?//BC时，延长B?A?交BO于点H，可得OH?OB??cos45??32
?CH?32?4
?点P?到直线AC的距离为4?32 综上所述，点P?到直线AC的距离为4?22或4?32或5． 【点睛】
本题考查了作图—旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 23．乙建筑物的高度CD约为16.7米 【分析】
作AE⊥CD交CD的延长线于点E，根据正切的定义分别求出CE、DE，结合图形计算即可． 【详解】
解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝34m， 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝
CE， AE∴CE＝AE?tan58°≈34×1.60＝54.4（m） 在Rt△ADE中，tan∠DAE＝
DE， AE∴DE＝AE?tan48°≈34×1.11＝37.74（m） ∴CD＝CE﹣DE＝54.4﹣37.74=16.66≈16.7（m） 答：乙建筑物的高度CD约为16.7m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．2 【分析】
根据特殊角三角函数，二次根式化简，0指数幂知识化简，再计算即可求解． 【详解】 解：原式?2?2?3(2?1)?22?1 2?2?32?3?22?1
?2．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数、二次根式运算、0指数幂等知识，熟知相关知识点是解题关键．
25．（1）见解析；（2）【分析】
（1）过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，根据条件得出
34AB2的值为；（3）存在，tan?EOB?或
77AC5RtANC≌RtAMB，即可求证AB?AC；
（2）过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，根据条件求得RtANC∽RtAMB，即可求得
AB的值； AC（3）过点E作EH?OB于H，作BC的垂直平分线交OC于点G，则GC?GB，即可得到?OGB??GBC??GCB?2?BCO，再根据GB2?OG2?OB2，求出OG，进而得出tan?OGB?OB3?，然后根据条件分两种情况讨论：①当?DCE?2?BCO，OG4②当?DEC?2?BCO，即可求解． 【详解】
解：（1）如图，过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N， 当?AOB?45?时， ∵OB?OC ∴OA平分∠COB 又∵AM⊥OB，AN⊥OC ∴AM?AN，
∵?CAN??NAB?90?，?NAB??BAM?90?，
∴?CAN??BAM， 又∵∠AMB=∠ANC=90° ∴RtANC≌RtAMB， ∴AC?AB；
（2）如图，过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，
∵?CAN??NAB?90?，?NAB??BAM?90?， ∴?CAN??BAM， 又∵∠AMB=∠ANC=90° ∴RtANC∽RtAMB， ∴故
ABAMAM2???tan?AOB?， ACANOM5AB2的值为； AC5（3）如图，过点E作EH?OB于H，作BC的垂直平分线交OC于点G，则
GC?GB，
∴?GBC??GCB，
∴?OGB??GBC??GCB?2?BCO， ∵GB2?OG2?OB2， ∴(6?OG)2?4?OG2， ∴OG?8， 3OB3?， OG4∴tan?OGB?∵OC?OB， ∴?CDE?2?BCO， ①当?DCE?2?BCO时， ∴tan?DCE?tan?OGB?3， 4DE3?， CD4∵DF⊥AC， ∴∠CDF=90°
∴
∴∠CDO+∠FDH=90° 又∵EH⊥OB ∴∠DEH+∠FDH=90° ∴∠CDO=∠DEH 又∵∠COD=∠EHD=90°
DEH∽OCD，
∴
DEEHDH3??=， CDODOC49， 2∴EH?DH?EH3?? OH6?972②当?DEC?2?BCO时，同理可得EH?DH?8，
∴tan?EOB?∴tan?EOB?92EH84?? OH6?8734或． 77综上所述：∴tan?EOB?【点睛】
本题主要考察了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用以及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质以及准确作出辅助线．
26．河的宽度AC为【分析】
根据点A在点B北偏东45°方向，结合方位角的知识可证AC?BC，利用三角函数解直角三角形，列关出方程，解方程即可． 【详解】
根据题意，有?AOC?30?,?ABC?45?， 又
?25?253?米
?ACB?90?
所以BC?AC，
在Rt?AOC中，tan?AOC?设AC?x米，则BC?x米， 由题意得解得x?ACAC，即tan30??
OCOCx3 ?x?50350 3?1化简得x?25?253
?河的宽度AC为25?253米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记特殊角的三角函数值，灵活运用方位角的知识，规范解直角三角形是解题关键．
??
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(含答案解析)
