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3.2 一般形式的柯西不等式
自我小测
1.已知a21+a2+…+a2n=1,x21+x2+…+x2n=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a+2b+3c+6d=5,则a的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) 12
A.1 B.n C.nD. n
4.若实数x+y+z=1,则2x+y+3z的最小值为( ) 6
A.1 B.6 C.11 D.
11
222
5.已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则++的最小值为( )
a+bb+cc+aA.1 B.3 C.6 D.9
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2
2
2
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2
2
?4936?6.设a,b,c为正数,则(a+b+c)?++?的最小值是________. ?abc?
7.设x,y,z∈R,若x+y+z=4,则x-2y+2z的最小值为________. 8.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x+4y+z的最小值为________. 9.在△ABC中,设其各边长分别为a,b,c,外接圆半径为R,求证:(a+b+
2
2
2
2
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2
2
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c2)?
?1+1+1?≥36R2.
?
?sin2Asin2Bsin2C?
10.已知二次三项式f(x)=ax+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证:
2
对于任何正数x1,x2,当x1·x2=1时,必有f(x1)·f(x2)≥1.
参考答案
1.解析:(a1x1+a2x2+…+anxn)≤(a21+a2+…+a2n)·(x21+x2+…+x2n)=1×1=1. 当且仅当ai=xi=n
(i=1,2,…,n)时等号成立. n
2
∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1. 答案:A
111??2222
2.解析:由柯西不等式,得(2b+3c+6d)?++?≥(b+c+d),即2b+3c+6d≥(b?236?
2
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+c+d),
2
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当且仅当
2b3c6d==时等号成立. 111236
2
2
2
2
又b+c+d=3-a,2b+3c+6d=5-a, 故5-a≥(3-a),
解得1≤a≤2,即a的最大值是2. 答案:B
3.解析:设n个正数为x1,x2,…,xn, 由柯西不等式,得 (x1+x2+…+xn)?
2
2
?1+1+…+1?
?xn??x1x2
?x1×1+x2×1+…+xn×1?2
≥??
x1x2xn??
=(1+1+…+1)=n.
当且仅当x1=x2=…=xn时取等号. 答案:C
1?222?1
4.解析:∵(2x+y+3z)?+1+?
3??2
2
2
?2x·1+y·1+3z·1?2
≥??
23??
=(x+y+z)=1. ∴2x+y+3z≥
2
2
22
6362
=,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.
1111111111+1+23
1
6222
∴2x+y+3z的最小值为.
11答案:D
5.解析:∵a+b+c=1, ∴
222++ a+bb+cc+a
=2(a+b+c)·?
?1+1+1?
??a+bb+cc+a?
?1+1+1?≥(1+1+1)2=9,当且仅当a=b??a+bb+cc+a?
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·?1
=c=时等号成立.
3
答案:D
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式自我小测新人教A版选修4_5



