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3.2 一般形式的柯西不等式
自我小测
1．已知a21＋a2＋…＋a2n＝1，x21＋x2＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a＋2b＋3c＋6d＝5，则a的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) 12
A．1 B．n C．nD． n
4．若实数x＋y＋z＝1，则2x＋y＋3z的最小值为( ) 6
A．1 B．6 C．11 D．
11
222
5．已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则＋＋的最小值为( )
a＋bb＋cc＋aA．1 B．3 C．6 D．9
2
2
2
2
2
2
2
?4936?6．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)?＋＋?的最小值是________． ?abc?
7．设x，y，z∈R，若x＋y＋z＝4，则x－2y＋2z的最小值为________． 8．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则x＋4y＋z的最小值为________． 9．在△ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a＋b＋
2
2
2
2
2
2
2
2
c2)?
?1＋1＋1?≥36R2.
?
?sin2Asin2Bsin2C?
10．已知二次三项式f(x)＝ax＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：
2
对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.
参考答案
1．解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)≤(a21＋a2＋…＋a2n)·(x21＋x2＋…＋x2n)＝1×1＝1. 当且仅当ai＝xi＝n
(i＝1,2，…，n)时等号成立． n
2
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 答案：A
111??2222
2．解析：由柯西不等式，得(2b＋3c＋6d)?＋＋?≥(b＋c＋d)，即2b＋3c＋6d≥(b?236?
2
2
2
＋c＋d)，
2
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当且仅当
2b3c6d＝＝时等号成立． 111236
2
2
2
2
又b＋c＋d＝3－a,2b＋3c＋6d＝5－a， 故5－a≥(3－a)，
解得1≤a≤2，即a的最大值是2. 答案：B
3．解析：设n个正数为x1，x2，…，xn， 由柯西不等式，得 (x1＋x2＋…＋xn)?
2
2
?1＋1＋…＋1?
?xn??x1x2
?x1×1＋x2×1＋…＋xn×1?2
≥??
x1x2xn??
＝(1＋1＋…＋1)＝n.
当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号． 答案：C
1?222?1
4．解析：∵(2x＋y＋3z)?＋1＋?
3??2
2
2
?2x·1＋y·1＋3z·1?2
≥??
23??
＝(x＋y＋z)＝1. ∴2x＋y＋3z≥
2
2
22
6362
＝，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
1111111111＋1＋23
1
6222
∴2x＋y＋3z的最小值为.
11答案：D
5．解析：∵a＋b＋c＝1， ∴
222＋＋ a＋bb＋cc＋a
＝2(a＋b＋c)·?
?1＋1＋1?
??a＋bb＋cc＋a?
?1＋1＋1?≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a＝b??a＋bb＋cc＋a?
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·?1
＝c＝时等号成立．
3
答案：D
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式自我小测新人教A版选修4_5
