2024-2024年高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三
角恒等变换与解三角形课时规范练文
一、选择题
31
1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β
53的值为( )
1913
A. B．3 C. D. 31393解析：由α为锐角，cos α＝，
54
得sin α＝，
5
41
所以tan α＝，因为tan(α－β)＝－，
33
tan α－tan（α－β）
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝3.
1＋tan α·tan（α－β）答案：B
π22
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，C＝，则
3△ABC的面积是( )
9333
A．3 B. C. D．33
22
解析：c＝(a－b)＋6，即c＝a＋b－2ab＋6.① π222
因为C＝，由余弦定理得c＝a＋b－ab，②
3由①和②得ab＝6，
11333
所以S△ABC＝absin C＝×6×＝.
2222答案：C
372π
3．(2017·德州二模)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么
5102β＝( )(导学号 55410106)
A.
ππππ
B. C. D. 12643
2
2
2
2
2
3π解析：由cos α＝，0＜α＜，
52
4
得sin α＝，
5
72π
又cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，
102得sin(α－β)＝
2， 10
372
则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋
510422×＝， 5102
ππ
由0＜β＜，得β＝.
24答案：C
?π?1则cos?2x－5π?＋sin2?π－x?的值为( )
4．(2017·韶关调研)已知cos?x－?＝，??3?3?33??????
1155A．－ B. C. D．－ 9933
5π?2?π?π???2?π22?解析：cos?2x－?＋sin?－x?＝－cos?2x－π?＋sin(x－)＝1－2cos?x－?3?3?3?3??3???π?π?52?2?＋1－cos?x－?＝2－3cos?x－?＝.
3?3?3??
答案：C
5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b C．A＝2B
B．b＝2a D．B＝2A
解析：因为2sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin
B.
所以等式左边去括号，得
sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B， 则2sin Bcos C＝sin Acos C，
因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理变形，得a＝2b. 答案：A 二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝
6，c＝3，则A＝________．
解析：由正弦定理，得sin B＝bsin C＝c6×3
32
＝
2. 2
又b＜c，则B为锐角，所以B＝45°. 因此A＝180°－(B＋C)＝75°. 答案：75°
π??π?1??π?7．(2017·池州模拟)已知sin?－α?＝?0＜α＜?，则sin?＋α?＝________．(导2??3?3??6?学号 55410107)
解析：因为sin?
?π－α?＝1，
?3
?3?
ππ?π??????π?＋α所以cos?＝cos?－?－α??＝sin?－α?； ?
???6??3??2?3πππ2π
又0＜α＜，所以＜＋α＜. 2663
?π?所以sin?＋α?＝ ?6?
22. 3
22答案：
3
?π?1－cos?＋α?＝ ?6?
2?1?1－??＝
?3?
2
8．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝________．
解析：由
c－bsin A＝，则B2c－asin B＋sin Cc－bsin A＝及正弦定理， 2c－asin B＋sin C得
c－ba222
＝，则a＋c－b＝2ac， 2c－ab＋ca2＋c2－b22π
所以cos B＝＝，从而B＝.
2ac24
π
答案： 4三、解答题
9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos
A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解：(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3， 2π
又0＜A＜π，所以A＝. 3
2π2
由余弦定理，得28＝4＋c－4c·cos .
3则c＋2c－24＝0，解得c＝4或－6(舍去)． π
(2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝.
22ππ
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π－＝.
326
1π
AB·ADsin 26
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.
1
AC·AD21
又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝23，
2所以△ABD的面积为3.
10．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝5(a－b－c)．
(1)求cos A的值； (2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B及＝，得a＝2b.
sin Asin B由ac＝5(a－b－c)及余弦定理，得 5b2＋c2－a25
cos A＝＝＝－.
2bcac525
(2)由(1)知A为钝角，且sin A＝，
5代入asin A＝4bsin B， 得sin B＝
－
2
2
22
2
2
2
abacasin A5
＝， 4b5
易知B为锐角，
252
cos B＝1－sinB＝. 5
432
则sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sinB＝，
55
4?255?325
所以sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2B·sin A＝×?－?－×＝－. 5?5?55511．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(a－c)sin A－bsin B＋(a＋b－c)sin C＝0.(导学号 55410108)
(1)求角A；
(2)当sin B＋sin C取得最大值时，判断△ABC的形状． 解：(1)由正弦定理＝＝＝2R，
sin Asin Bsin C可得sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2R2R2R代入(a－c)sin A－bsin B＋(a＋b－c)sin C＝0， 化简整理得b＋c－a＝bc，
2
2
2
abcabcb2＋c2－a211
则＝，所以cos A＝. 2bc22
π又因为A为三角形内角，所以A＝. 32
(2)由(1)得B＋C＝π，
3
223?2?所以sin B＋sin C＝sin B＋sin?π－B?＝sin B＋sin πcos B－cos πsin B＝sin 332?3?
B＋
3
cos B＝ 2
π??B＋3sin?. 6???
2ππ5
因为0＜B＜π，所以＜B＋＜π，
3666πππ
所以当B＝时，B＋＝，
362sin B＋sin C取得最大值3，
π
因此C＝π－(A＋B)＝，所以△ABC为等边三角形．
3
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