课时达标 第15讲 导数与函数的极值
[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x－2cx＋x有极值点，则实数c的取值范围为(D ) A．?3
2
?3??3?
，＋∞?B．?，＋∞? ?2??2???
3??33??3????∪?，＋∞?D．?－∞，－?∪?，＋∞? 2??22??2???
3
2
2
C．?－∞，－解析 若函数f(x)＝x－2cx＋x有极值点，则f′(x)＝3x－4cx＋1＝0有两个不同的根，故Δ＝(－4c)－12>0，从而c>
2
33
或c<－. 22
12
2．函数f(x)＝x－ln x的最小值为(A )
21
A． 2C．0
2
B．1 D．不存在
1x－1
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0 xx11 ∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.故选A． 22 3．已知x＝2是函数f(x)＝x－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为(D ) A．15 C．17 33 B．16 D．18 2 解析 x＝2是函数f(x)＝x－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x－12x＋2.令f′(x)＝3x－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.故选D． 4．函数f(x)＝错误!在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是(D ) 3 2 ?1?A．?ln 2，＋∞? ?2? C．(－∞，0) ?1?B．?0，ln 2? ?2? 1??D．?－∞，ln 2? 2?? 2 解析 当x∈[－2,0)时，因为f′(x)＝6x＋6x＝6x(x＋1)，所以在[－2，－1)上，f′(x)>0，在(－1,0]上，f′(x)≤0，则当x∈[－2,0]时函数有最大值，为f(－1)＝2.当a≤0 时，若x>0，显然e≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a>0时，若函12a数在[－2,2]上的最大值为2，则e≤2，得0 2 ax?－∞，1ln 2?.故选D． ??2?? 5．已知函数f(x)＝2x－6x＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(A ) A．－37 C．－5 2 3 2 B．－29 D．－11 解析 f′(x)＝6x－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.故选A． 13?b?2 6．若函数f(x)＝x－?1＋?x＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R 3?2?上的极小值为(A ) 4 A．2b－ 3C．0 2 32B．b－ 23132 D．b－b 6 解析 f′(x)＝x－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)． ∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数， ∴－3 4 由f′(x)<0，得b 3二、填空题 7．已知函数f(x)＝x－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__. 解析 f′(x)＝3x－12，令f′(x)＝0，则x＝2和x＝－2为其两个极值点，f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，∴M＝24，m＝－8，M－m＝32. 8．已知函数y＝f(x)＝x＋3ax＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为__4__. 解析 ∵f′(x)＝3x＋6ax＋3b， ??f∴??f? 2 3 2 2 3 ＝3×2＋6a×2＋3b＝0， 2 2 ＝3×1＋6a×1＋3b＝－3 2 2 ?错误! ∴f′(x)＝3x－6x，令3x－6x＝0，得x＝0或x＝2， ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 9．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表. x f(x) －1 1 0 2 2 0 4 2 5 1 f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值为__0__. 解析 由y＝f′(x)的图象知，f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表. x f′(x) f(x) (－1,0) ＋ 单调递增 0 0 极大值 (0,2) － 单调递减 2 0 极小值 (2,4) ＋ 单调递增 4 0 极大值 (4,5) － 单调递减 所以f(2)为f(x)的极小值，f(2)＝0. 三、解答题 10．已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)． e(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值． 解析 (1)由f(x)＝x－1＋x，得f′(x)＝1－x.由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切 ee线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e. e (2)f′(x)＝1－x， e ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a>0时，令f′(x)＝0，得e＝a，即x＝ln a. xaaaaax∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． 11．(2018·福建南安诗山中学月考)已知函数f(x)＝ax－2ax＋2＋a(a＜0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值1. (1)求a的值； (2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求实数m的取值范围． 解析 方法一 (1)因为函数的图象是抛物线，a<0，所以开口向下，对称轴是直线x＝1，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，所以当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝2＋a＝1，所以a＝－1. (2)因为a＝－1，所以f(x)＝－x＋2x＋1， 所以g(x)＝f(x)－mx＝－x＋(2－m)x＋1， 2 2 2 g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝ 因为g(x)在[2,4]上单调， 2－m， 2 2－m2－m所以≤2或≥4，从而m≤－6或m≥－2. 22所以m的取值范围是(－∞，－6]∪[－2，＋∞)． 方法二 (1)因为f′(x)＝2ax－2a＝2a(x－1)(a<0)， 所以x>1时，f′(x)<0，f(x)在[2,3]上单调递减， 所以f(x)max＝f(2)＝2＋a＝1，所以a＝－1. (2)g(x)＝－x＋2x＋1－mx＝－x＋(2－m)x＋1， 2 2 g′(x)＝－2x＋(2－m)＝－2?x－ 因为g(x)在[2,4]上单调， ? ? 2－m?， 2?? 2－m2－m所以≤2或≥4，所以m≤－6或m≥－2， 22所以实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[－2，＋∞)． 12．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x＋ax－3)e(a为实数)． (1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程； (2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值． 解析 (1)当a＝5时，g(x)＝(－x＋5x－3)e， 2 2 xxg(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e. 所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x ?0，1? ?e???1 e?1，＋∞? ?e???f′(x) f(x) － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 1 ①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数， e所以f(x)min＝f(t)＝tln t. 1?1??1?②当0 ＝－e. ?tln t，1综上，f(x)?t≥min ?e，＝??－1e，0 e . ?e?以
全国通用版2019版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标15导数与函数的极值
