第七章 推理与证明
第1课时 合情推理与演绎推理
能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．
22＋＝2
3
2，3
33＋＝38
3，8
44＋＝415
4
，…，类比这些等式，15
① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 1. 已知若
a6＋＝6b答案：41
a
(a，b均为正数)，则a＋b＝________． b
22＋＝23
2，3
33＋＝38
3，8
44＋＝415
4
，…，第n个15
解析：观察等式应该是
n＋1
n＋1＋＝(n＋1)2
（n＋1）－1
＝35，a＋b＝41.
n＋12
，则第5个等式中a＝6，b＝a－12
（n＋1）－1
S1
2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S2
1
＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为4
V1
V2，则＝________．
V2
1
答案： 27
V11
解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
V227
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若存在正整数m，n(m 答案：1 解析：因为Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1，从而bm＋1bn＝1，Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)·(bm＋1bn)＝1. 4. 观察下列等式： 223939416416 ＋2＝4；×2＝4；＋3＝；×3＝；＋4＝；×4＝；…，根据这些等式，可1122223333 以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为________________． n＋1n＋1* 答案：＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈N) nn 22 n＋1n＋1＋（n＋n）（n＋1）n＋1 解析：由归纳推理得＋(n＋1)＝＝， ×(n＋1)＝ nnnn 2 （n＋1）n＋1n＋1* ，所以得出结论＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈N)． nnn 2S 5. 设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝. a＋b＋c 类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝________． 3V 答案： S1＋S2＋S3＋S4 3V 解析：由类比推理可知r＝. S1＋S2＋S3＋S4 1. 归纳推理 (1) 归纳推理的定义 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图 实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 (3) 归纳推理的特点 ① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围． ② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具． ③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 2. 类比推理 (1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理． (2) 类比推理的思维过程大致如图 观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论 3. 演绎推理 (1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程． (2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M是P)① S_—_M(S是M)② S — P(S是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]
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