第35届全国中学生物理竞赛决赛考试试题
第 35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2018) 一、(35 分)如图,半径为??质量为??半球静置于光滑水平桌面上,在半球顶点上有一质量为??半径为??匀质小球.某时刻,小球受到微小的扰动后有静止开始沿半球表面运动.在运动过程中,小球相对于半球的位置由角位置??述,??两球心的连线于竖直方向之间的夹角.已知小球绕其对称轴的转动惯量为 25?? 2 ,小球与半球间的动摩擦因数为,假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力.重力加速度大小为. (1)小球开始运动后在一段时间内做纯滚动,求在此过程中,当小球的角位置为 1时,半球运动的速度大小 ",(",1 )和加速度大小 ",(",1); (2)当小球纯滚动到角位置 2 时开始相对于半球滑动,求 2 满足的方程(用半球速度大小", ",(",2 )和加速度大小 ",(",2 )以及题给条件表示); (3)当小球刚好运动到角位置 3 时脱离半球,求此时小球质心相对于半球运动速度的大小 ",(",3). 二、(35 分)平行板电容器极板 1 和 2 的面积均为,水平固定放置,它们之间的距离为,接入如图所示的电路中,电源的电动势记为.不带电的导体薄平板 3(厚度忽略不计)的质量为??尺寸与电容器极板相同.平板 3 平放在极板 2 的正上方,且与极板 2 有良好的电接触.整个系统置于真空室内,真空介电常量为 0 .闭合电键??,平板 3 与 1 和 2 相继碰撞,上下往复运动.假设导体板间的电场均可视为匀强电场;导线电阻和电源内阻足够小,充放电时间可忽略不计;平板 3 与极板 1 或 2 碰撞后立即在极短时间内达到静电平衡;所有碰撞都是完全非弹性的.重力加速度大小为. (1)电源电动势??少为多大? (2)求平板 3 运动的周期(用??题给条件表示). 已知积分公式 d?? 2 +??=1",ln(2?? + ", + 2?? 2 + ??) + ",,其中 0,??积分常数. 三、(35 分)如图,质量线密度为??不可伸长的软细绳跨过一盘状定滑轮,定滑轮的 m r M R 1 3 2 K U
半径为,轴离地面高度为.系统原处于静止状态.在 = 0时,滑轮开始以恒定角速度??时针转动,绳子在滑轮带动下开始运动,绳子与滑轮间的动摩擦因数为.滑轮两侧的绳子在运动过程中始终可视为沿竖直方向,绳的两端在运动过程中均没有离开地面,地面上的绳子可视为集中在一点.已知重力加速度为.绳子在与滑轮左、右侧相切处的张力分别记为 1 、 2 (均非已知量). (1)分别列出在绳子速度达到最大值之前,滑轮两侧绳子的竖直部分及滑轮上任意一小段绳子的运动所满足的动力学方程; (2)求绳子可达到的最大速度的大小. (可以参考的数学关系式: d",d",+ ?? = e ??d(?? ?? )d",, e??cos",d", =e ??1+", 2(", cos", + sin",) + ", 1 , e??sin",d", =e ??1+", 2(",sin", cos",) + ", 2 ,", 1 与 2 为积分常数) 四、(35 分)如图,一张紧的弦沿??水平放置,长度为.弦的左端位于坐标原点.弦可通过其左、右与振源连接,使弦产生沿??向的横向受迫振动,振动传播的速度为. (1)固定弦的右端 2 ,将其左端与 1 与振源连接,稳定时,左端 1 的振动表达式为(", = 0,",) = ", 0 cos??,其中 0 为振幅,??圆频率. (i)已知弦上横波的振幅在传播方向上有衰减,衰减常量为(", 0),求弦上各处振动的振幅;(已知:在无限长弦上沿??正方向传播的振幅逐渐衰减的横波表达式为
",(",,",) = ",e ?? cos(?? ??+ ",),其中????别为 = 0处振动的振幅和初相位) (ii)忽略波的振幅在传播方向上的衰减,求弦上驻波的表达式,并确定波腹和波节处的??标. (2)将 1 、 2 都与振源连接,", 1 、", 2 处的振动表达式分别为(", = 0,",) = ", 0 cos??、(", = ",,",) = ", 0 cos(?? + ", 0 ),其中 0 为常量.忽略波的振幅在传播方向上的衰减,分别计算 0 = 0和 0 = ??形下线上各处振动的表达式以及共振时的圆频率??满足的条件. R L 地面 O O P 1 P 2 x y 五、(35 分)质量为??绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空(可视为真空)中.在某惯性系中观察,该容器的初始速度为零.容器的容积为,容器中充有某种单原子分子理想气体,气体的初始分子数、分子质量分别为 0 、,气体的初始温度为 0 .", = 0时容器壁上出现面积为??一个小孔,由于小孔漏气导致容器开始运动.假设小孔较小,容器中的气体在泄露过程中始终处于平衡态.已知气体分子速度沿??向的分量 ", 的麦克斯韦分布函数为(", ", ) =
",2??e?? ",22?? (??玻尔兹曼常量).在泄露过程中,求: (1)当气体的分子数密度为??温度为??在单位时间内从小孔单位面积泄出的气体分子数; (2)当容器中气体温度为??,从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能; (3中气体的温度; (4)??刻容器运动速度的大小(假设 ? ", 0 ",). 已知积分公式: ",e ??2 d", 0=12",,", 2 e ??2 d", 0=14?? 3,", 3 e ??2 d", 0=12", 2 . 六、(35 分)介质的折射率??以大于 0,也可以小于 0.",小于 0 的介质称为负折射介质.光在负折射介质内传播,其光程为负值(相位随传播距离的变化规律于在折射率为正的介质中的相反).如果定义折射角于入射角在界面法线同侧时折射角为负,可以证明折射定律在界面两边有负折射介质时仍然成立,即 1 sin", 1 = ", 2 sin", 2 ,其中的 1 和 2 均可以大于 0 或小于 0,", 2 为折射角. (1)设想一束平行光入射到界面上,根据惠更斯原理,画出图??图??示情况下进入介质2的光线及对应的子波的示意图,并依此证明折射定律成立; (2)如图??示,半径为??球面将空间隔开为两个 区 域 , 其 折 射 率 分 别 记 为 ", 1(",1 0) 、 2(",2 0),??是球面的球心,取某一光轴与球面的交点??原点.图中已画出此情形下一段入射光线和折射光线,????别为入射光线、折射光线与光轴的交点坐标.记物距为 1 ,像距为", 2 .在傍轴近似下导出球面的成像公式和横向放大率公式.请明确指出最后结果中各个量的正负号约定; (3)介质 1 为空气,即 1 = 1,", 2 可大于 0 也可小于 0.在球面(参考图)前放置一普通薄凸透镜,透镜的光轴通过球心,焦点位于负折射介质区域内,透镜的焦距 = 1.5",,透镜中心 点与??的距离为",.一束沿光轴传播的平行光入射到薄透n 1 0 n 2 0 n 1 0 n 2 0 图 a 图 b x y C 1 2 2 1 n 1 n 2 M R O 图 c 序号 n2 d 1 1.5 0.35R 2 1.5 0.85R 3 -1.5 0.35R 4 -1.5 0.85R 参数表
镜.分别就表中四组参数计算入射光在光轴上会聚点离??的距离,并画出序号 4情形的光路示意图. 七、(35 分)在固体材料中,考虑相互作用后,可以利用准粒子的概念研究材料的物理性质.准粒子的动量与能量之间的关系可能与真实粒子的不同.当外加电场或磁场时,准粒子的运动往往可以用经典力学的方法来处理.在某种二维界面结构中,存在电量为??有效质量为??准粒子,它只能在", ??面内运动,其动能??动量大小??间的关系可表示为 =", 22",+
??,其中??正的常量. (1)对于真实的自由粒子,动能 =", 22", ,其中??该粒子质量,试从动能定理出发,推导该粒子速度??动量??间的关系式; (2)仿照(1)的方法,推导准粒子运动的速度??动量??间的关系式; (3)用动能表示准粒子运动速度的大小 (4)将该二维界面结构置于匀强磁场中,磁场沿??正方向,磁感应强度大小为,求动能为??准粒子做匀速率圆周运动的半径、周期和角动量的大小; (5)将该二维界面结构放置在匀强电场中,准粒子可能在垂直于电场的方向上产生加速度.如果电场沿??正方向,电场强度大小为.当准粒子的速度大小为(", ",)、方向与??正方向成??时,求其运动的加速度分量 ", 和 ", . 八、(35 分)热辐射入射到反射镜,反射镜可利用热辐射的辐射压力对外做功,这一过程可以用动力学或热学来研究.为简化起见,将热辐射视为一维黑体辐射,正入射到平面理想反射(完全反射)镜上.反射镜所受辐射压力与外界阻力相互平衡,以速度??匀速运动,运动方向与入射辐射的方向相同.已知在实验室参考系中温度为??一维黑体辐射谱(单位时间内在频率??近单位频率间隔内辐射出的辐射能)为(",,",) =2?",e ?", ??1 ,式中??普朗克常量,??玻尔兹曼常量.真空中的光速为. (1)从一维黑体辐射光子与运动理想反射镜碰撞的动力学观点出发,计算在实验室参考系中镜子利用光子克服阻力做功的功率. (2)从热学角度看,辐射的入射过程与相继发生的反射过程可视为作为工作物质的反射镜经历一微小的理想热机循环:入射过程可视为镜子从高温热源吸热,反射过程可视为镜子向低温热源放热,最后镜子恢复原状.基于这一观点,证明在反射镜参照系中入射辐射与反射辐射均为一维黑体辐射,并在反射镜参照系中计算该热机的效率. (3)在实验室参考系中计算该热机的效率.
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