?0gnR??p?(V??TSl)?00010V1V1?nR?S??S1l0W??pdV?? ???dVV0V0??glS?Sl?10?1?001V??nRS?????0gl0?1?nR?S???0gnR?nR??p?(V??TSl)?ln?(V1?V0)?00010???S1l0??0g?S??S1l0?1???0gl0nR???1.890?103J??1.9?103JS1?V1S?? ? S1?V0?S?? （解法三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V、T和p。水在温为T时的密度为
???01??(T?T0) ⑩
将②③④式中的V1、T1和p1换为V、T和p，利用⑩式得，罐内空气在温度为T时的状态方程为
?V?V0???T?T0?S1l0??S???gV?V0???T?T0?S1l0 ?p0?0S?1??(T?T0)p?p0? ?p0? ?p0? ? ? ? ??g?0gS?S1l0???0gl0S1
S??glSp0?001S??glSp0?001S??glSp0?001S??glSp0?001S?(V?V0?S1l0)[1??(T?T0)]S? ? ?0g????(V?V?Sl)(1??T)?pV(V?V?Sl)0100010?S??nR???g?g?S1l0?0(V?V0?S1l0)(1??T0)?0pVS?S?nR?g?g?V0?0(V?2V0)(1??T0)?0pVS?S?nR?g?g?T0?0(V?2V0)(1??T0)?0pVS?S?p0?0gV?V0?S1l0S?1??(T?T0)?0g式中应用了
?(T?T0)??(T1?T0)?0.0060， ?式可改写成
p0?V?V0V1?V0?=0.0057 S1l0S1l0?0gl0S1S? p?
(V?2V0)(1??T0)S??g?T01?0VS?p0??0g1?2?T0?gVp0?00(1?2?T0)(1??T0)p0?T0S? ????g?T0?T01?0VS?p0 ?
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从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为
1?2?T0?0gV0??p?(1?2?T0)?0?V1V1(1??T0)p0?T0S?W??pdV??????dVV0V0?g?T?T00??01?V???Sp0??(1??T0)p0??S?p0?S?p0??0g?T0V1? ? ??V?V??V100?ln????T0??0g?T0?S?p0??0g?T0V0????1.896?103J??1.9?103J现计算罐内空气的内能变化。由能量均分定理知，罐内空气中午相对于清晨的内能改变为
55p0V0?U?nR(T1?T0)=(T1?T0)?5.724?104J?5.72?104J ?
22T0式中5是常温下空气分子的自由度。由热力学第一定律得，罐内空气的吸热为
?Q?W??U?5.535?104J?5.54?104J ?
从密闭水罐后至中午，罐内空气在这个过程中的热容量为 C??Q?2.77?103 J?K?1。 ? T1?T0评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑧式各1分，⑨式2分；第（2）问10分，⑩??式各1分，???式各2分，?式1分。
三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318倍）。假设地球及木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为ms和mj，引力常量为G。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是re和rj。假设在某个时刻，地球及
太阳的连线和木星及太阳的连线之间的夹角为?。这时若太阳质量突然变为零，求 （1）此时地球相对木星的速度大小vej和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率v0。 （2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（1）中结果和数据ms?2.0?1030kg、mj?1.9?1027kg、木星公转周期Tj?12 y。
参考解答：
（1）若太阳质量突然变为零，地球和木星围绕太阳转动速度不会突然改变，因而应当等于在太阳质量变为零之前的瞬间，地球和木星围绕太阳转动的速度。设在太阳质量变为零之前，地球和木星绕太阳转动速度分别是ve和vj。以太阳为原点、地球和木星公转轨道平面为x-y平面建立坐标系。由万有引力定律和牛顿第二定律有
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2msmeve G2?me
rere ①
由①式得
ve?Gms， ② re同理有
vj?Gms， rj③
现计算地球不被木星引力俘获所需要的最小速率v0（不考虑太阳引力）。若地球相对木星刚好以速度v0运动，也就是说，当地球在木星的引力场里运动到无限远时，速度刚好为零，此时木星-地球系统引力势能为零，动能也为零，即总机械能为零。按机械能守恒定律，在地球离木星距离为rej时，速度v0满足
mm12mev0?Gej?0， 2rej ④
即
v0?2Gmjrej， ⑤
可见，地球不被木星引力俘获所需要的最小速率v0的大小及木星质量和地球离木星的距离有关。 设在太阳质量变为零的瞬间，木星的位矢为
rj?(rj,0)
⑥
地球的位矢为
re?(recos?, resin?)， ⑦ 式中?为地球此时的位矢及x-轴的夹角。此时地球和木星的距离为
rej?re2?rj2?2rerjcos? ⑧
此时地球相对于木星的速度大小为
2vej?ve?vj?ve?v2j?2vevjcos??Gms112cos? ??rerjrerj⑨
式中cos?项前面取减号是因为考虑到木星和地球同方向绕太阳旋转的缘故。由⑤⑧式得
v0?（2）解法（一）
2Gmjrej?(2Gmj)1/2(re2?rj2?2rerjcos?)1/4， ⑩
为了判断地球是否会围绕木星转动，只需比较vej和v0的大小。由开普勒第三定律有
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re3?， ? Tj2Te2rj3式中Tj=12 y是木星公转周期，而Te=1y是地球公转周期。由?式得
rjre?3Tj2T2e?3144?5.2
?
vej和v0都是正数，所以，由⑨⑩?式有：
vejv0?ms2mj112cos?2??re41??5.2??2cos?re5.2re5.2re ?ms12cos?421??1??5.2??2cos?2mj5.25.2 ?
显然，?式右端当cos??1，即
??0 ?
时取最小值，此时太阳、地球、木星共线，且地球和木星在太阳同侧。由??式和题给数据有
?vej?ms1242?1??1?5.2?2?29??1 ? ????v2m5.25.2j?0?min也就是说，在任何情况下，
vej>>v0
?
即若太阳质量突然变为零，地球必定不会被木星引力俘获，不会围绕木星旋转。这里考虑的是地球及木星绕太阳运动方向相同的情况。若地球和木星绕太阳转动方向相反，则地球和木星的相对速度会更大，而v0不变，地球也不会围绕木星旋转。
解法（二）
为了判断地球是否会围绕木星转动，只需比较vej和v0的大小。首先讨论??0时的情况，即在太阳质量变为零的瞬间，太阳、地球、木星共线，且地球和木星在太阳同侧的情形。由开普勒第三定律有
re3?， ? Tj2Te2rj3式中Tj=12 y是木星公转周期，而Te=1y是地球公转周期。由?式得
?T?rj??j??Te?2/3re?3144re?5.2re， ?
将?式和有关数据代入⑨⑩式得 vej?Gms112cos?GG ? ???0.56ms?7.9?1014rerjrerererj9 / 23
v0?可见，此时有
(2Gmj)1/2(re2?rj2?2rerjcos?)1/4?0.442mjGG?2.7?1013 ? rere vej>>v0 ? 所以这种情形下地球不会围绕木星旋转。这里考虑的是地球及木星绕太阳运动方向相同的情况。若地球和木星绕太阳转动方向相反，则地球和木星的相对速度会更大，而v0不变，地球也不会围绕木星旋转。
对于??0的情况，当?从0到π（或从0到?π）改变时，从式⑨⑩式可以看到，
vej单调增大，v0单调减小 ?
所以总有?式成立。因此，若太阳质量突然变为零，地球仍不会围绕木星旋转。
评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤⑦⑧⑨⑩式各1分；第（2）问10分，?式2分，?式1分，??式各2分，??式各1分，结论正确给1分。
四、（20分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长为L、质量为m、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性绳的一端系在桥沿b，绳的另一端系一质量为M的小物块（模拟蹦极者）；假设M比m大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和蹦极者的重力向下拉时会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为g。 （1）求蹦极者从静止下落距离y（y?L ）时的速度和加速度的大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 （2）求蹦极者从静止下落距离y（y?L ）时，绳在其左端悬点b处张力的大小。
参考解答：
（1）由题意，均匀弹性绳在自重作用下几乎不可伸长，此即其劲度系数非常大。因而，虽然绳的弹力大小不可忽略，但绳在自重作用下的弹性势能却可忽略不计。取桥面为重力势能零点，系统总的初始能量是绳的初始势能，即 Ei?Epi??mgL ① 4式中，m是绳的质量，L是绳的原长。蹦极者下落距离y时，系统的动能为
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第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答word版
