第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1、R2，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点，下侧柱面过切点O的母线为X轴，上侧柱面过切点O的母线为Y轴。一束在真空中波长为?的可见光沿Z轴负
方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为n0?1.00。试推导第k级亮纹在X-Y平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sinx?x, 当x??1。
参考解答：
如图a所示，光线1在上侧柱面P点处傍轴垂直入射，入射角为?，折射角为?0，由折射定律有
nsin??n0sin?0 ①
其中n和n0分别玻璃及空气的折射率。光线在下侧柱面Q点处反射，入射角及反射角分别为i和i?，由反射定律有
i?i? ②
光线在下侧柱面Q点的反射线交上侧柱面于P?点，并由P?点向上侧柱面折射，折射光线用1??表示；光线1??正好及P?点处的入射光线2的反射光线2?相遇，发生干涉。考虑光波反射时的半波损失，光线1??及光线2?在P?点处光程差?L为
???? ?L??n(?zp)?n0(PQ?P?Q)???n(?zp?)?n0(PQ?P?Q)?n(zp?zp?)?③
2?2 ?式中?为入射光线在真空中的波长，n0?1.00。由题意，R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有
??0，i??i??1
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①式成为
n??n0?0 ④ 亦即
1???0?n??0 ⑤
在傍轴条件下， 柱面上P、Q两处切平面的法线近似平行，因此
1??i??i??0?0 ⑥
从而，在P、Q两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z轴，从而P?及P点近似重合，即
zp??zp
⑦
且PQ近似平行于Z轴，因而长度
P?Q?PQ?zP?zQ由③⑧式得
⑧
?L?2n0?PQ??2?2n0?zP?zQ???2
⑨
可以将⑨式右端的z-坐标近似用x-或y-坐标表出。为此，引入一个近似公式。如图b所示，设置于平面上的柱面透镜及平面之间的空气隙的厚度为e，柱面半径为R。对三边边长分别为R、
R?e和r的直角三角形有
R2=?R?e??r22
⑩
即
2Re?e2?r2 ?
在光线傍轴垂直入射时，e??R，可略去?式左端的e2，故
r2 ? e?2R
在光线傍轴垂直入射时， 前面已证近似有PQ//Z轴。故可将上、下两个柱面上的P、Q两点的坐标取为P(x,y,zP)、Q(x,y,zQ)，如图c
所示。根据?式可知，P、Q 两点到XOY切平面的距离分别为
x2y2，e2??zQ? ? e1?zP?2R12R2最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差?L为
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?L?2n0?zP?zQ???2?2n0?e1?e2???2
?x2?x2y2??y2?? ?2n0??????n0????2R2R2RR22?2??1?1
若P、Q两点在XOY平面的投影点(x,y)落在第k级亮(暗)纹上，则?L须满足条件 ?k?, k?1,2,, 亮环?x2y2??? ?L?n0?????? ? 1RR2?12??(k?)?,k?0,1,2,, 暗环 ?2?式中亮环条件对应于第k级亮纹上的点(x,y,z)的x-、y-坐标满足的方程。
更具体地，不妨假设R1?R2，根据?式中的亮环条件，可得第k级亮纹的方程为 x2y2?2?1, k?1,22A kBk ?
它们是椭圆亮环纹，其半长轴及半短轴分别为
1Ak?(k?)R1?/n0, k?1,2,21，Bk?(k?)R2?/n0, k?1,2,2?
评分参考：①②式各1分，③式2分，④⑤式各1分，⑥式2分，⑦式1分，⑧式2分，⑨⑩??式各1分，?式2分，?式1分，?式（亮环条件正确）2分。
二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0?C，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m、高为2.00 m的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为
4.00 cm的透明圆柱形观察柱，底部及罐相连（连接
处很短），顶部及大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，及罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m。 （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0?C，问此时
观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 （2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。
已知罐外气压始终为标准大气压p0?1.01?105Pa，水在4.0?C时的密度为
?0?1.00?103kg?m?3，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为??3.03?10?4K?1，重力加速度
大小为g?9.80m?s?2，绝对零度为?273.15?C。
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参考解答：
（1）清晨加完水封闭后，罐内空气的状态方程为
p0V0?nRT0
①
式中n为罐内空气的摩尔数，p0、V0?π m3和T0?277.15K分别是此时罐内空气的压强、体积和温度。
至中午时，由于气温升高，罐内空气压强增大，设此时罐内空气的压强、体积和温度分别为p1、V1和T1，相应的状态方程为
pV11?nRT1
②
式中T1?297.15K。空气和水的体积都发生变化，使得观察柱中水位发生变化，此时观察柱内水位和罐内水位之差为，
?h?V1?V0V1?V0?(T1?T0)(S1+S2)l0 ③ ??S1S2S2式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献，l0?1.00 m为早上加水后观测柱内水面的高度，S1?πm2、S2?4π?10?4m2分别为罐、观察柱的横截面积。由力平衡条件有
p1?p0??1g?h1
④
式中
?1??01??(T1?T0) ⑤
是水在温度为T1时的密度。联立①②③④⑤式得关于?h的一元二次方程为 ?1gS?(?h)2?(p0S1???1gV0)?h?(式中
S??S1S2，??1??(T1?T0) ⑦ S1?S2T1??)p0V0?0 ⑥ T0解方程⑥得
?(p0S1???1gV0)?(p0S1???1gV0)2?4?1gS?p0V0(?h?2?1gS?T1??)T0?0.812m ⑧
另一解不合题意，舍去。由③⑤⑦⑧式和题给数据得 V1?V0?S??h??(T1?T0)S1l0??0.0180m3 由上式和题给数据得，中午观察柱内水位为
l1??h?V1?V0+l0?1.82m S1 ⑨
（2）先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功。
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（解法一）早上罐内空气压强p0?1.01?105Pa；中午观察柱内水位相对于此时罐内水位升高
?h，罐内空气压强升高了
?p??1g?h?7.913?103Pa?7.91?103Pa
⑩
由于?p??p0，可认为在准静态升温过程中，罐内空气平均压强为
1p?p0??p?1.0495?105Pa?1.05?105Pa 2罐内空气体积缩小了
?
?V?0.0180m3 ?
可见?V/V0??1，这说明?式是合理的。罐内空气对外做功
W?p?V??1.889?103J??1.9?103J
?
（解法二）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午之间的任意时刻，设罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V、T和p。水温为T时水的密度为
???01??(T?T0) ⑩
将②③④式中的V1、T1和p1换为V、T和p，利用⑩式得，罐内空气在温度为T时的状态方程为
?V?V0???T?T0?S1l0??S?? ?
?0gS1l0(V?V0)/(S1l0)???T?T0? ?p0?S?1??(T?T0)p?p0??g由题设数据和前面计算结果可知
?(T?T0)??(T1?T0)?0.0060
V?V0V1?V0?=0.0057 S1l0S1l0这说明?式右端分子中及T有关的项不可略去，而右端分母中及T有关的项可略去。于是?式可 ?V?V0???T?T0?S1l0??S??
?0gS1l0 ?p0??(V?V0)/(S1l0)???T?T0???S??p?p0??g利用状态方程，上式可改写成
p0? p??0gS?(V0??T0S1l0)?1???0gl0S1nRS?nR?S1l0?VnR ? ?S1l0从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为
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第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答word版
