创新设计数学人教B选修规范训练：221 综合法与分析法 含解析

2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法与分析法

双基达标 ?限时20分钟?

1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么

( )．

x＋yx＋yA．x<2

31

解析 ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝4，x＝4， x＋y1x＋y3

则2＝2，2xy＝8，∴x<2xy<2

a?2x＋1?－2

2．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于

2x＋1A．1 C．0

B．－1 D．±1

a?20＋1?－220＋1

2a－2

＝2＝ ( )．

解析 奇函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0，∴f(0)＝0，

∴a＝1，故选A. 答案 A

3．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的 ( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

ab解析 由正弦定理sin A＝sin B，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.

答案 C

1－x

4．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.

1＋x1－x

解析 ∵f(x)＝lg，可分析f(x)为奇函数，

1＋x∴f(－a)＝－f(a)＝－b. 答案 －b

5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法

6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2. 证明 法一 分析法 要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．

只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立， 又因a＋b＞0，

只需证a2－ab＋b2＞ab成立， 只需证a2－2ab＋b2＞0成立， 即需证(a－b)2＞0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立． 由此命题得证． 法二 综合法

a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0 ?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab. 注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得 (a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． ∴a3＋b3＞a2b＋ab2.

综合提高 ?限时25分钟?

7．已知a>0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是

( )．

A．P>Q B．P＝Q

C．P

解析 当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以P>Q；当0Q. 答案 A

8．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )． A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)

1?1?

解析 用分离参数法可得a≥－?|x|＋|x|?(x≠0)，而|x|＋|x|≥2，∴a≥－2，当x

??＝0时原不等式显然成立． 答案 C

9．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．

解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．

答案 对角线互相垂直

→＋OP→＋OP→＝0，且|OP→|＝|OP→|＝|OP→|，则△PPP一定是

10．若平面内有OP123123123

________(形状)三角形．

解析 可结合图形，利用向量的几何意义加以解决． 答案 等边

11．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

证明 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.① 因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.② π

由①②，得B＝3.③

由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④ 由余弦定理及③，

可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此a＝c， 从而有A＝C.⑤

π

由②③⑤，得A＝B＝C＝3，所以△ABC为等边三角形． 12．(创新拓展)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：

Sn·Sn＋2

≤1. S2n＋1

(1)解 设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a5＝a1q4， ?a1q＝6

依题意，得方程组?4，

?a1q＝162解得a1＝2，q＝3，∴an＝2·3n－1 2?1－3n?n(2)证明 ∵Sn＝＝3－1，

1－3Sn·Sn＋232n＋2－?3n＋3n＋2?＋1∴2＝2n＋2

Sn＋13－2·3n＋1＋132n＋2－23n·3n＋2＋1≤2n＋2＝1，

3－2·3n＋1＋1Sn·Sn＋2

即2≤1.

Sn＋1