∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；（1）设P（-1，t），又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC=18，PB=（-1+3）2+t=4+t，PC=（-1）+（t-3）=t-6t+10，①若点B为直角顶点，则
2
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2
2
BC+PB=PC，
222
即：18+4+t=t-6t+10，解之得：t=-2；②若点C为直角顶点，则即：18+t-6t+10=4+t
2
2
BC+PC=PB，
222
，解之得：t=4，
PB+PC=BC，
2
2
2
③若点P为直角顶点，则即：4+t+t-6t+10=18，
2
2
解之得：t1= 错误！未找到引用源。， t2=
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，方法提炼(1)：
★利用坐标系中两点距离公式
,得到所求三角形三边平方的代数式；
则分情况讨论；
）或（-1，）
★确定三角形中的直角顶点，若无法确定★根据勾股定理得到方程方法提炼(2)：★利用两直线垂直，
K值互为负倒数（
,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；
K1K2=-1），先确定点所在的直线表达式
★将直线与抛物线的表达式联立方方法提炼(3)：
程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；
★利用特殊角45°构造直角三角形，易求点的坐标。（2）与等腰三角形的探究问题
例2如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交
x轴于另一点C(3，0)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点形？若存在，求出符合条件的点
Q，使△ABQ是等腰三角Q的坐标；若不存在，请说明
11
理由。
解：(1)抛物线的解析式为：(2)该抛物线的对称轴为
y=-x+2x+3
2
x= 1。设Q点坐标为(1，m)
6)，或(1，-
6)；
AB上，不符合题
当AB=AQ时 Q点坐标(1，
当BA= BQ时解得：m=0，m =6, Q点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线意应舍去;
当QA=QB时解得：m=1， Q点坐标为(1，1)．抛物线的对称轴上是存在着点方法提炼：
★设出点坐标，求边长；（类型一方法提炼）
Q(1,
6)、(1,-
6)、(1，0)、(1，1)
★当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论，如：本题中当时；当BA= BQ时；当QA=QB时；具体方法如下①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，
:
以定长的某一端点为圆心，
AB=AQ
以定长为半径画
若所画
弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，作出定长的垂直平分线，
交点即为所求的点；
满足条件的点不存在；②当定长为底边时，
则交点即为所求的点，用以上方法即可找出所有符
若
若作出的垂直平分线与已知直线有交点，
则满足条件的点不存在．
作出的垂直平分线与已知直线无交点，合条件的点。
跟踪训练1：如图，已知抛物线B（0，-3），与x轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点为直角顶点的直角三角形，求点
y=x+bx-3a过点A（1，0），C．
2
P，使△PBC为以点B
P的坐标；
Q，使以P，
请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，
12
跟踪训练2：以菱形ABCD的对角线交点所在的直线为
O为坐标原点，AC
x轴，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，
PE⊥ｙ轴于点E，设点P
4），P为折线BCD上一动点，作的纵坐标为a．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．
跟踪训练3：如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
点C的坐标是（8，4），连接AC，B C．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△
ABC的形状；
B
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点运动；同时，动点
Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速
另一个动点也随之
度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，停止运动．设运动时间为
t秒，当t为何值时，PA=QA？
M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
13
跟踪训练4：如图，已知一次函数＝2．
（1）求二次函数
y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax+bx+c
2
2
的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点
y＝ax+bx+c的解析式；
y＝ax+bx+c的图象的另一交点为
P的坐标．
2
2
C，且OC
（2）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数D，已知P
为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点
探索二次函数综合题解题技巧五
二次函数在中考数学中常常作为压轴题，
具有一定的综合性和较大的难度。
学生往往因
缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上分、多得分、是完全可以做到的。第
,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失
1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标
2—3小问通常要结合
或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第三角形、四边形、圆、对称、
解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度
大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，
确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，
注意挖掘隐蔽的条件
切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。类型五
二次函数与特殊四边形的探究问题
y=x-2x-3与x轴交于A、B两点（点A
2
例1如图，抛物线
在点B的左侧），直线与抛物线交于
A、C两点，其中C点的横坐标为
2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
F，使A、
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点C、F、G为顶点的四边形是平行四所有满足条件的
边形？如果存在，请求出
.
F点坐标；如果不存在，请说明理由
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解：(1)令y=0可得 A(-1，0)，B(3，0)，将C点的横坐标x=2代入y=x-2x-3，解得y=-3，∴C(2，-3)，
∴直线AC的函数解析式是
y=-x-1；
2
(2)存在这样的点①如图，连接
F
CG∥ｘ轴，
C与抛物线和y轴的交点，那么
此时AF=CG=2，因此F点的坐标是(-3，0)；
②如图，AF=CG=2，A点的坐标为(-1，0)，因此F点的坐标为(1，0)；③此时C，G两点关于B点对称，因此标为(1±
，3)
，3)
AC的相同，因此可设直线
GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可
G点的纵坐标为
3，代入抛物线中即可得出
G点的坐
当G点的坐标为：(1+ ∵直线GF的斜率与直线得出直线的解析式为
y=-x+4+
，0)
∴直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+ 当G 点的坐标为：(1- 如图：同上可求出综上：共存在方法提炼：
★特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下
，3)，
(4-，0)
F的坐标为
4个点F：F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+，0)，F4(4-，0)
:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边
长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。★ 探究平行四边形：
①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，
②以已知边为平行四边形的对角线，
画出所有的符合
利用平行四边形的对边相等进行计算；
条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点
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中考数学复习探索二次函数综合题技巧 - 图文
