最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练2抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y于点C，已知抛物线的对称轴为x＝1，B(3，0)，C(0，－3). (1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点之差最大？若存在，求出
P，使点P到B，C两点距离
.
P点坐标；若不存在，请说明理由
跟踪训练3（2016烟台）如图1，已知平
行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥ｘ轴，过B，C，D三点的抛物线
y=ax+bx+c（a≠0）的顶
2
点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线
OF交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
6
（3）如图2，过点F作FM⊥ｘ轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥ｙ轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时的值．
m
探索二次函数综合题解题技巧三
二次函数在中考数学中常常作为压轴题，
具有一定的综合性和较大的难度。
学生往往因
缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上分、多得分、是完全可以做到的。第
,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失
1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标
法求出解析式即可。第
2—3小问通常要结合
或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数
三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数
学思想，认真分析条件和结论、图形
的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。类型三
二次函数中旋转、对称的探究问题
OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）
90°，得到矩形
OA′B′C′。
注意挖掘隐蔽的条件
例1在平面直角坐标系中，矩形（m＞0），将此矩形绕
O点逆时针旋转
（1）写出点A、A′、C′的坐标；（2）设过点
A、A′、C′的抛物线解析式为
y=ax+bx+c，求此抛
2
物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）试探究：当
m的值改变时，点
B关于点O的对称点D是否可
m的值。
能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时
解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），∴A（m，0），C（0，1），∵矩形OA′B′C′由矩形
OABC旋转而成，
∴A′（0，m），C′（-1，0）；y=ax+bx+c，
2
（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），∴此抛物线的解析式为（3）存在。
：y=-x+（m-1）x+m；
2
∵点B与点D关于原点对称，B（ m ， 1），∴点D的坐标为：
（-m，-1），
7
∵抛物线的解析式为：y=-x+（m-1）x+m；
2
假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，
则y=-（-m）+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m+2m+1=0，∵△=22-4×（-2）×1=12＞0，
2
2
∴此点在抛物线上，解得方法提炼：
m= 或m= （舍去）.
★（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（关于原点对称的点的坐标为（－
a，－b）；关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）；
a，－b）；关于直线x=m的对称点为（2m－a，b）；关于直线
y=n的对称点为（a，2n－b）；关于点（m，n）的对称点为（2m－a，2n－b）；绕原点逆时针旋转90°的坐标为（－b，a）；绕原点顺时针旋转
90°的坐标为（b，－a）；任意两点（x1，
y1）和（x2，y2 ）的中点为（，）。
跟踪训练1如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，
OA=，抛物线y=ax﹣ax﹣a经过点B（2，（1）求抛物线的表达式；
2
），与y轴交于点D．
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
8
跟踪训练
2
2若两条抛物线的顶点相同
2
,则称它们为“友好抛物线”.抛物线C1(如图1):
y1=ax-2x+c与C2: y2=-x+2x-5为“友好抛物线”．(1)求抛物线C1的表达式；
(2)点P是抛物线C1上在第四象限的一个动点，过点P作PE⊥x轴，E为垂足，求PE+OE的最大值；(3) 如图2，设抛物线C1的顶点为C，点B的坐标为(-1, -4)，连接BC.在C1的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M顺时针旋转90得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C1上?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
.
M
o
图1图2
跟踪训练3在平面直角坐标系∠AOC的平分线交t秒．
x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，
个单位长度的速度沿射线
OD方向
x轴正方向移动．设移动时间为
AB于点D．点P从点O出发，以每秒
移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿（1）当点P移动到点D时，求出此时
t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为出t的值；若不存在，请说明理由．
y=﹣（x﹣t）+t（t＞0）．问是否存在某一时
2
刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求
【思路分析】（1）首先根据矩形的性质求出
2
2
2
2
DO的长，进而得出
2
2
2
t的值；
2
2
2
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB=（6﹣t）+（2﹣t），QB=（6﹣2t）+2，PQ=（2t﹣t）+t=2t，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的（3）存在这样的
t值即可；
t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，
9
则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性
可求出t的值．
探索二次函数综合题解题技巧四
二次函数在中考数学中常常作为压轴题，
具有一定的综合性和较大的难度。
学生往往因
缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上分、多得分、是完全可以做到的。第
,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失
1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标
2—3小问通常要结合
或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第
三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。类型四
二次函数与特殊三角形的探究问题
注意挖掘隐蔽的条件
（1）与直角三角形的探究问题
例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴为直角三角形的点
P的坐标.
x=-1，B，
x=-1上的一个动点，求使△BPC
x=-1,B。BC的解
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线且抛物线经过
A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为
∴Ｂ的坐标为：（-3，0），设抛物线的解析式为：
y=a（x-1）（x+3），
把C（0，3）代入，-3a=3，解得：a=-1，∴抛物线的解析式为：
y=-（x-1）（x+3）=-x-2x+3；
2
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： m=1，n=3
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中考数学复习探索二次函数综合题技巧 - 图文
