专题1.1 集合
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。
知识点1：元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?。 (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。 知识点2：集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A。
(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或B
A。
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B。
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 知识点3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集 若全集为U，则集合A符号表示 A∪B A∩B 的补集为?UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 知识点4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。
4
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A。 (3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A。 【特别提醒】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。 2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C。 3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB。
4. ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)。
考点一：集合的基本概念
【典例1】(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A.9
B.8
C.5
D.4
【答案】A
【解析】方法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，
11}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C3＝9，故选A。
方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A。
【规律方法】
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。
???x＋1≤0
【变式1】（(2019·辽宁实验中学期中)已知集合A＝?x∈Z?
?x－2??
??
?，则集合A的子集的个数为( ) ??
4
A．7B．8C．15D．16 【答案】B
【解析】由x＋1
x－2≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A
＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.
考点二：集合间的基本关系
【典例2】(2019·河北衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1 【答案】 (－∞，4] 【解析】A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}， 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2。 当B≠?时，若B?A，如图所示 ?m＋1≥－则? 2，?2m－1≤7，? ?m＋1<2m－1，解得2 综上，m的取值范围为(－∞，4]。 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题． 【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 【变式2】 (2019·山东烟台一中调研)已知集合M＝?????x??x＝kππ ??4＋4，k∈Z ???，集合N＝ ?????x??x＝kπ8－π ??4，k∈Z ???，则( ) 4
2021年高考数学一轮复习教学案专题1.1 集合
