代数式的变形（整式及分式）
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项及逐步合并等方法作初步介绍.
1．配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
2222
例1 设a、b、c、d都是整数，且m=a+b,n=c+d,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
2222
解mn=(a+b)(c+d)
22222222
=ac+2abcd+bd+ad+bc-2abcd
22
=(ac+bd)+(ad-bc)
22
=(ac-bd)+(ad+bc),
2222
所以，mn的形式为(ac+bd)+(ad-bc)或（ac-bd）+(ad+bc).
222222
例2 设x、y、z为实数，且(y-z)+(x-y)+(z-x)=(y+z-2x)+(z+x-2y)+(x+y-2z).
求的值.
解 将条件化简成
2222
2x+2y+2z-2xy-2x-2yz=0
222
∴ (x-y)+(x-z)+(y-z)=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.
2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.
例3 如果a是x-3x+1=0的根,试求解 ∵a为x-3x+1=0的根,
2
2
的值.
∴ a-3a+1=0,,且
2
=1.
原式
3.换元
换元使复杂的问题变得简洁明了.
说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.
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例4 设a+b+c=3m,求证:
333
(m-a)+(m-b)+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则 p+q+r=0. 333222
P+q+r-3pqr=(p+q+r)(p+q+r-pq-qr-rp)=0 333
∴p+q+r-3pqr=0
333
即 (m-a)+(m-b)+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
例5 若,试比较A、B的大小.
解 设 则
.
∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,
可知 ∴A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若求x+y+z的值.
解 令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, ∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
222
例7 已知a、b、c为非负实数，且a+b+c=1,
,求a+b+c的值.
解 设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即 17 / 84
∴ak-a+bk-b+ck-c=-3abc,
222333
∴(a+b+c)k+3abc=a+b+c. 222
∵a+b+c=1,
333
∴k=a+b+c-3abc
3223
=(a+b)-3ab-3ab+c-3abc
22
=(a+b+c)[(a+b)+c-(a+b)c]-3ab(a+b+c),
222
=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca),
222
∴k=k(a+b+c-ab-bc-ac),
222
∴k(a+b+c-ab-bc-ca-1)=0, ∴k(-ab-bc-ac)=0. 若K=0, 就是a+b+c=0. 若-ab-bc-ac=0,
2222
即 (a+b+c)-(a+b+c)=0,
2
∴(a+b+c)=1, ∴a+b+c=±1
综上知a+b+c=0或a+b+c=±1
5.“拆”、“并”和通分 下面重点介绍分式的变形：
（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
232323
例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.
证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
而
显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.
（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和. (3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例9 已知
求证:.
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证明
6.其他变形
例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可
2
用括号），经过六步算出x.那么计算的表达式是______.
2
解 x=x(x+1)-x
或 x=x(x-1)+x
2
5432
例11 设a、b、c、d都是正整数，且a=b,c=d,c-a=19,求d-b.
543242
解 由质因数分解的唯一性及a=b,c=d,可设a=x,c=y,故
2422
19=c-a=(y-x)=(y-x)(y+x)
解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y-x=757
强化练习 1.选择题
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（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8
（2） 已知则的值是（ ）.
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）. （A
p% (B)% (C)% (D)% %
2.填空题
（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2
+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.
(2)若=_____.
(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______
3.若（x-z）2
-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z及y的关系.
4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.
5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求
的值.
6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证
7.已知a2+c2=2b2
,求证
8.设有多项式f(x)=4x4
-4px3
+4qx2
+2q(m+1)x+(m+1)2
,求证:
如果f(x)的系数满足p2
-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
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）
(E)
丰富多彩有理数竞赛题
