第十二讲 向量组的最大线性无关组
一、考试内容与考试要求
考试内容
向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．
考试要求
（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；
（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；
（3）理解向量组等价的概念；
（4）了解内积的概念，了解规范正交基；
（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念； （6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．
二、知识要点
引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．
向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．
复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。
线性表示：??k1?1?k2?2?L?km?m，对k1,k2,Lkm没有要求，且
R(A)?R(A,b)?(?)m
线性相关：k1?1?k2?2?L?km?m?o，存在k1,k2,Lkm不全为零； 线性无关：k1?1?k2?2?L?km?m?o，k1,k2,Lkm只能全为零．
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???R(A)=m,m?n?线性无关:Ax=o有唯一零解???A?0,m?n?n维向量组?1,?2,L,?m?
??R(A) 定义1 设有向量组（I）：?1,?2,L?r,L,?m，满足 （1）有r个向量线性无关，不妨设向量组T：?1,?2,L?r线性无关； （2）向量组（I）中任意r?1个向量（若有的话）都线性相关． 称向量组T是向量组（I）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向量组）．最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩，记作R或R(?1,?2,L,?m)． 例：向量组??，??，??是线性相关的． ?1??0??0??1??2??3?但T1：??，??；T2：??，??；T3：??，??都是线性无关，都是最大无关组． 定义1有等价的描述形式如下： 定义1? 设有向量组（I）：?1,?2,L?r,L,?m，满足 （1）有r个向量线性无关，不妨设向量组T：?1,?2,L,?r线性无关； （2）向量组（I）中任一向量都能由向量组T线性表示； 称向量组T是向量组（I）的一个最大线性无关向量组． 证明 由定义1证明定义1?． 在向量组（I）中任取一个向量?，若?在?1,?2,L?r中，则?可由所在的向量组线性表示，如?r?0?1?L?0?r?1?1?r．若?不在?1,?2,L,?r中，由?1,?2,L,?r的线性无关性及向量组（I）中任意r?1都线性相关性，知?可由?1,?2,L,?r线性表示． 由定义1?证明定义1自己证明． ?1??0??0??1??0??1??2??3??1??0??2??3?2．注意 2 （1）向量组最大无关组一般不惟一； （2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一； （3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身； （4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法： ① 由Ax?o的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n维向量组?1,?2,L,?m??线性无关:Ax=o有唯一零解?线性相关:Ax=o有非零解 ② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性： 若R(?1,?2,L,?m)?m，向量组线性相关；若R(?1,?2,L,?m)?m，向量组线性无关． （5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵A与矩阵B行（或列）等价，则A的行（或列）向量组与B的行（或列）向量组等价。 3．性质 n（1）单位坐标向量组e1,e2,L,en是R的一个最大无关组； n证明 e1,e2,L,en线性无关，而R中的任意n+1个n维向量一定线性相关，由定义得 证． 另外，除单位坐标向量组是最大无关组外，R还可以有多个最大无关组．如A1：??， n?1??0??0??0??2??1??2?2AA；：，；：23????????，??都是R的最大无关组． ?1??1??3??0??3?（2）向量组（I）与它的最大无关组T是等价的； 证明 设（I）：?1,?2,L?r,L,?m有一个最大无关组T：?1,?2,L,?r． 由定义知向量组（I）中每个向量可由T线性表示． 再证明向量组T中每个向量可由（I）线性表示．由于T中每个向量可由T线性表示，如?r?0?1?L?0?r?1?1?r，则?r?0?1?0?2?L?1?r?0?r?1?L?0?m，向量组T中每个向量可由（I）线性表示． （3）同一向量组的任意两个最大无关组是等价的； 3 证明 设T1，T2是向量组T的两个最大无关组，T1:T，T2:T，故由等价的对称性和传递性，有T1:T2． （4）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同； 证明 设向量组（I）：?1,?2,L,?s与（II）：?1,?2,L,?t都线性无关，R(A)?s， R(B)?t． （II）可由（I）线性表示，则R(B)?R(A)（见第十讲的注意2），s?t． （I）可由（II）线性表示，则R(A)?R(B)（见第十讲的注意2），t?s． 所以s?t． （5）等价的向量组具有相同的秩； 证明 设向量组（I）有一最大无关组T1，向量组（II）有一最大无关组T2，且（I）:（II）． 由性质（2）知（I）:T1，（II）:T2，又（I）:（II），所以T1:T2（传递性）． 由性质（3）知R(T1)?R(T2)，所以R（I）=R（II）（最大无关组定义）． （6）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩． 证明 A=(?1,?2,L,?m)，R(A)=r，知A中有一r阶子式Dr?0，所有r?1阶子式均为零． 由本节的复习知，Dr所在的r列线性无关（添分量仍无关）； 再证明A的任意r?1列向量线性相关．反证法，假使A中有r?1列向量线性无关，必有r?1阶子式不为零（见复习），又由A中所有r?1阶子式均为零，矛盾，假使不成立． 三、基础及综合训练 ??1??2??1???????例12.1 判断向量组?1=?3?，?2=?1?，?3=?4?是线性相关还是线性无关． ?1??0??1????????121解 记A?(?1,?2,?3)，由于A=314?0，R(A)=2<向量组中向量个数，向量011 4 组线性相关． ?1??1??1???????例12.2 问t为何值时，向量组?1=?1?，?2=2，?3=3线性无关． ?????1??3??t???????解 存在数k1,k2,k3，使得k1?1?k2?2?k3?3?o 111当 123=t?5?0 13t即t?5时，k1?2?k2?2?k3?3?o只有零解，故?1,?2,?3线性无关． 例12. 3 对任意数a,b,c,线性无关的向量组是 . （A）(a,1,2), (2,b,c), (0,0,0); （B）(b,1,1), (1,a,3), (2,3,c), (a,0,c); （C）(1,a,1,1),(1,b,1,0),(1,c,0,0); (D) (1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c). 解（C）正确。因为（A）中有零向量，必线性相关；（B）中有4个3维向量，必线性 相关；对（C）中向量，有 ?1a11?? A??1b10???1c00???111而A中有一个3阶子式110??1?0,即R(A)?3，从而向量组线性无关; 100对(D)中向量，有 ?111a??:B??222b???000c???a??111?000b?2a? ???000c???可见R(B)?2，从而向量组线性相关． TTTT?3?（1，1，2，3）?2?（1，2，1，4）?4?（0，1，2，4）（1，3，0，5）例12.4 求向量组?1?，，，， T?5?（1，?3，0，?1）的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组表示． ?1??3解 (?1,?2,?3,?4,?5)=?0??5?1101??111??211?3?r?0?1?2:1220??012???434?1???0?1?21??1?6? 20??4?6??0 5
最大线性无关组
