?T?2k??2???2??，
?2x??3?2k??3??7?(k?Z)?k???x?k??(k?Z)， 21212所以单调递减区间为：?7?????k?,?k??(k??)，
12?12???7???k??(k??)； 因此最小正周期为T??，单调递减区间??k?,12?12?（2）∵b2?ac，b2?a2?c2?2accosB ∴ac?a2?c2?2accosB，而a2?c2?2ac，解得∴0?B?1?cosB?1 2?3，∴
?3?2B??3??
∴0?sin?2B???????1即f(B)的取值范围为?0,1?. 3?【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式、余弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性和最小正周期公式.
2x19.已知直线y?x?m与椭圆?y2?1相交于A，B两点，当m变化时，求|AB|的最大
4值. 【答案】410 5【解析】 【分析】
将直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式结合一元二次方程根与系数关系，求出|AB|的表达式，最后利用函数的性质求出|AB|的最大值.
【详解】直线
y?x?m与椭圆
x2?y2?14联立得：
?y?x?m?222?5x?8xm?4m?4?0， ?x2??y?1?4??(8m)2?4?5?(4m2?4)?0??5?m?5，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，
?8m4m2?4所以有x1?x2?，由弦长公式可知： ,x1x2?55|AB|?12?(?1)2x1?x2?2?(x1?x2)2?2?(x1?x2)2?4x1x2?当m?0时，|AB|有最大值，最大值为：425?m2 5410. 5【点睛】本题考查了椭圆中弦长最大值问题，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了数学运算能力.
20.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点A?1,2?为抛物线C上一点. （1）求C的方程；
（2）若点B?1,?2?在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若kBPgkBQ??2，求证:直线PQ过定点.
2【答案】（1）y?4x或x?21y； （2）证明见解析． 2【解析】
试题分析：（1）当焦点在x轴时，设C的方程为x?2py，当焦点在y轴时，设C的方程
22为x?2py，分别代入点A?1,2?，求得P的值，即可得到抛物线的方程；（2）因为点
??1,?2?在C上，所以曲线
C的方程为y2?4x，设点A?x1,y1?,B?x2,y2?，用直线与曲线方程联立，利用韦达定理
整理得到b?3?2m，即可得到x?3?m?y?2?，判定直线过定点.
试题解析：（1）当焦点在x轴时，设C的方程为x?2py，代人点A?1,2?得2p?4，即
2y2?4x.当焦点在y轴时，设C的方程为x2?2py，代人点A?1,2?得2p?1，即2x2?1y， 22综上可知：C的方程为y?4x或x?21y. 22（2）因为点B?1,?2?在C上，所以曲线C的方程为y?4x. 设点A?x1,y1?,B?x2,y2?，
直线AB:x?my?b，显然m存在，联立方程有：
y2?4my?4b?0,??16m2?b,?y1?y2?4m,y1?y2??4b.QkBPgkBQ??2,?y1?2y2?244g??2,?g??2, x1?1x2?1y1?2y2?2??即y1y2?2?y1?y2??12?0,??4b?8m?12?0即b?3?2m. 直线
即x?3?m?y?2?,?直线AB过定点?3,2?.
考点：抛物线的标准方程；直线过定点问题的判定.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系，及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
21.已知正方体ABCD?A?B?C?D?，E，F分别是BB?和CD的中点. （1）求异面直线AE与D?F所成（2）求证：AE⊥平面A?D?F. 【答案】（1）90?（2）证明见解析 【解析】 【分析】
角的大小；
以D为空间直角坐标系的原点，以DA,DC,DD所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所
'示空间直角坐标系：
ruuuruuuu（1）分别求出向量AE与D?F的坐标表示，通过空间向量数量积的运算求出异面直线AE
与D?F所成的角的大小；
的uuur（2）只要证明AE与平面A?D?F.内两个不共线的向量垂直即可.
【详解】以D为空间直角坐标系的原点，以DA,DC,DD所在的直线分别为x,y,z轴，建
'11''22uuuuruuur11'（1）设异面直线AE与D?F所成的角为?，AE?(0,1,),DF?(0,,?1)，
22uruuuruuu'AE?DFcos??uuuur?0，所以异面直线AE与D?F所成的角的大小90?； ruuuAE?D'Fuuruuruuruuuruuuruuuuuruu1uu1'''（2）AE?(0,1,),AF?(?1,,?1)?AE?AF?0?AE?AF，
22uruuuruuu'''由（1）可知：AE?DF，而A'F?D'F?F，AF,DF?平面A?D?F，
所以AE⊥平面A?D?F.
立如图所示空间直角坐标系：A(1,0,0),E(1,1,),D(0,0,1),F(0,,0),A(1,0,1).
【点睛】本题考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，考查了利用空间向量证明线面垂直，考查了数学运算能力.
22.已知直角梯形ABCD，?ABC??BAD?90?，BE?平面ABCD，AB?BC?6，AD?3，
BE?5，求：
（1）点B到平面CDE的距离； （2）二面角A?CD?E的余弦值. 【答案】（1）
6026912269（2） 269269【解析】 【分析】
（1）在平面ABCD内做BF?CD，连接EF,利用等积法求出点B到平面CDE的距离； （2）由（1）可以得到二面角A?CD?E的平面角，利用余弦的定义求出二面角A?CD?E的余弦值.
【详解】（1）设点B到平面CDE的距离为h，在平面ABCD内做BF?CD，连接EF, 由直角梯形ABCD可得CD?62?(6?3)2?35，由直角梯形ABCD面积可得等式：
11112?3?6??35?BF??(3?6)?6?BF?5，而BE?平面ABCD，BF,CD?2225平面ABCD，所以BF?BE,BF?CD，所以CD?平面BEF，因此有CD?EF 因此EF?52?(121345，于是有 5)2?551111345112VB?CDE?VE?CDB?s?CDE?h?s?CDB?BE??35??h??35?5?5332525
可得：h?6026960269，所以点B到平面CDE的距离为
269269（2）由（1）可知：?EFB是二面角A?CD?E的平面角，在直角三角形EFB中，
cos?EFB?BF12269. ?EF269
【点睛】本题考查了点面距离，考查了二面角的求法，考查了推理论证能力和计算能力.
内蒙古集宁一中（西校区）2019 - 2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）
