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10
18．（1）见解析；（2） .
5
【解析】 【分析】
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（1 ）利用三角形中位线和
A1D/ /B1C
可证得
ME/ /ND，证得四边形 MNDE 为平行四边形，
（2）以菱形 ABCD 对角线交点
平面 AMA1 ，得到平面
进而证得 MN / /DE，根据线面平行判定定理可证得结论；
为原点可建立空间直角坐标系，通过取
AB 中点 F ，可证得 DF
uuur
的法向量
AMA DF
；再通过向量法求得平面
MA1N 的法向量 n，利用向量夹角公式求得 1
.
两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值 【详解】
（1 ）连接 ME ， B1C
M ， E
分别为 BB1 ， BC 中点
ME为
B BC 的中位线
1
ME/ /BC
1
且 ME
1 B C
1
2
N 为 A1D 中点，且 1又
AD/ /B1C
ND/ /B1C且
ND
1
B C
1
2
ME/ /ND
四边形 MNDE 为平行四边形
MN / /DE ，又 MN 平面 C1DE ， DE ì 平面 C1DE MN / / 平面 C1DE
（2 ）设 AC
BD O ， A1C1 B1D1 O1
平面 ABCD
由直四棱柱性质可知： OO1
四边形 ABCD为菱形
∴AC⊥BD
O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则以
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则： A 3,0,0
，M 0,1,2 ， A
1
3,0, 4 ，D（0，-1,0 ） N
3 1 , ,2 2 2
AB 中点 F ，连接 DF ，则 取
3 1
0 F , ,
2 2 60
平面 ABCD 平面 AMA1
四边形 ABCD为菱形且 BAD
BAD为等边三角形 DF AB
又 AA1 平面 ABCD， DF
DF A1A
∴DF
平面 ABB1A1 ，即 DF
DF 为平面 AMA1 的一个法向量，且
DF
3 3
, ,0 2 2
设平面
MA1N 的法向量 n
x, y,z ，又
MA1
MN
3, 1,2 ，
3 3 , ,0 2 2
3x y 2z 0
，令 x 3 ，则 y 1 ， z 1 3 3
n MN x y 0
2 2
3 15 DF n cos DF, n sin DF ,n
15 5 DF n
n MA1
n 3 , 1, 1
10 5
二面角
A MA1 N 的正弦值为：
10 5
【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题
.求解二面角的关键是能够利
用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦 值，属于常规题型 .
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19．（1）12 x 8 y 7 0 ；（2）
4 13
.
3
【解析】 【分析】 （1 ）设直线 l ：
3 y = x m
2
，A x1, y1 ，B x2 ,y2 ；根据抛物线焦半径公式可得 x1 + x2 1；
联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于
m 的方程，解方程求得结果； （2）
l ： 设直线
x
可得 y1 【详解】
2
y t ；联立直线方程与抛物线方程， 得到韦达定理的形式； 利用 AP 3PB 3
3y2 ，结合韦达定理可求得 y1 y2 ；根据弦长公式可求得结果 .
（1 ）设直线 l 方程为：
3 y = x
2
m ， A x1, y1 ， B x2, y2
1
2
由抛物线焦半径公式可知：
AF
3
x m 得： 2 联立 y
9x 2
2
BF x x
2
3
4 2
x
1
x
2
5 2
12m 12 x 4m 0
y
则
3x
2
2
x
1
1 m 12m 12 144m 0
2 12 m 12 5 7
x ，解得： m
8 2
9
0
2
3 7 l 的方程为： 直线 y x ，即： 12 x 8 y 7 2 8
2 （2 ）设 P t,0 ，则可设直线 l 方程为： x y t 3
联立
2
2
x
3 y
y t 得： 2 2
y
3 0 y t
1 3
3x
t
则
4 12t 0
y1 y2 2， y1y2
AP
PB
3
3t y1
3y2
2
y2
1， y
1
y1y2
3
3
则
4 1
y
1
13
y
2
4 13
4 12
AB
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4y y
1 2
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9 3 3
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2019年高考全国1卷理科数学试题与答案
