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p
ap
bp
cp (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X
1) ，b P(X 0) ，
i
i 1
i
i 1
c P( X 1) ．假设
0.5， 0.8 ．
(i)证明： { pi
1
pi } (i 0,1,2, ,7) 为等比数列；
(ii) 求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]
x 1 2
2 ， 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
1 t （
y t 1 4t 为
参
2
数t
），以坐标原点 为 t O
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4-5：不等式选讲 ]
已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1．证明：
（1）
1 1 1 2 2 2
a b c
a b c ；
3
3
3
（2）
(a b)
(b c) (c a) 24
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法， 渗透了数学运算素养． 采取数轴法，形结合的思想解题． 【详解】
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利用数
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由题意得， M x 4 x 2 , N x 2 x 3 ，则
M N x 2 x 2 ．故选 C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误， 区分交集与并集的不同， 交集取公共部分， 并集包括二者部分．
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2．C 【解析】 【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（ (0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C． 【详解】 z
x，y）和点
x yi, z i
x ( y 1)i ,
2
z i x
( 1)2 1, 2
y 则 x
( 1)2 1
y ．故选 C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算， 法，利用方程思想解题． 3．B 【解析】 【分析】
运用中间量 0 比较 a, c，运用中间量 1比较 b , c 【详解】 a
0.3
log 0.2 log 1 0, b
2 2 2
0
渗透了直观想象和数学运算素养． 采取公式法或几何
2
0.4
1, 0 0.2
0
0.2 1,则0 c 1,a c b ．故
选 B． 【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较， 转化与化归思想解题． 4．B 【解析】 【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】
26
渗透了直观想象和数学运算素养．
采取中间变量法， 利用
设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则
x
26 x
y 105 5 1
， 2
得 x 42.07 cm, y 5.15cm．又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为
26cm，所以其
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身高约为 42．07+5．15+105+26=178 ．22，接近 175cm．故选 B． 【点睛】
本题考查类比归纳与合情推理， 想解题． 5．D 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性，得 确答案． 【详解】
f (x) 是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
渗透了逻辑推理和数学运算素养．
采取类比法， 利用转化思
由
sin( x) ( x)
2
sin x x
2
，得 f (x) 是奇函数，其图象关于原点对
f ( x)
cos( x) ( x)
称．又 f ( )
f (x)
1 2 2
( )
2
cos x x
f ( ) 4 2
0 ．故选 D．
2
1,
2
1
2
【点睛】
本题考查函数的性质与图象， 渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素养． 采取性质法或赋 值法，利用数形结合思想解题． 6．A 【解析】 【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题， 等数学素养， “重卦”中每一爻有两种情况，
渗透了传统文化、 数学计算
基本事件计算是住店问题， 该重卦恰有 3 个阳
爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】
由题知， 每一爻有 2 中情况， 一重卦的
3 6 6
6 爻有
2情况， 其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有
6
3
C ，
6
所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为
5
=
，故选 A．
C 2
【点睛】
对利用排列组合计算古典概型问题，
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16
首先要分析元素是否可重复， 其次要分析是排列问题还
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是组合问题． 本题是重复元素的排列问题， 所以基本事件的计算是“住店”问题， 事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 7．B 【解析】 【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、 学计算等数学素养． 先由 (a b) 公式即可计算出向量夹角． 【详解】 因为 (a b)
2
b ，所以 (a b) b a b b2 =0，所以
a b b ，所以
2
满足条件
夹角与垂直问题， 渗透了转化与化归、 数
b 得出向量 a,b 的数量积与其模的关系， 再利用向量夹角
cos = a b
a b
| b|
2
1 ，所以 a 与b 的夹角为 2
，故选 B．
2 |b |
3
【点睛】
对向量夹角的计算， 先计算出向量的数量积及各个向量的摸， 的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 8．A 【解析】 【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，
渗透阅读、 分析与解决问题等素养， 认真分析式子结构特
在利用向量夹角公式求出夹角
[0, ]．
征与程序框图结构，即可找出作出选择． 【详解】
1
1 1
=
A , k 1 2是， 因为第一次应该计算 2 1 2 A
2 2
，k
执行第 1 次，
k 1=2，循环，
执行第 2 次， k
2 2，是，因为第二次应该计算 2 2，否，输出，故循环体为
执行第 3 次， k
1
1 1 = 2 ，k k 1=3，循环，
1 2 A 2
2
，故选 A． 1 A A 2
【点睛】
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2019年高考全国1卷理科数学试题与答案
