武汉大学
高等代数
（基础课程内部讲义）
目录
武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析..........................................................................................第一章多项式......................................................................................................................................................第二章行列式......................................................................................................................................................第三章线性方程组..............................................................................................................................................第四章矩阵..........................................................................................................................................................第五章二次型........................................................................................................................................................第六章线性空间....................................................................................................................................................第七章线性变换....................................................................................................................................................第八章入-矩阵与约当标准型...............................................................................................................................第九章欧几里得空间............................................................................................................................................第十章双线性函数与辛空间................................................................................................................................武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析
真题分析
年份计算题型分值40考察范围行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似，线性变换考察难度（了解、理解、掌握、应用）计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2009证明110计算70行列式求值球线性空间的位数计算的题目都不是很难，只和一组基，求满足条件的正交变换，是有些计算起来有些复杂，只要求零化多项式，极小多项式，Jordan细心就可以了，这基本属于理解标准型，求双线性变换的矩阵。定义就可以的题目证明满足某种条件矩阵存在性的问题，线性子空间的直和证明矩阵可逆，证明矩阵正定、合同，证明不变子空间，证明矩阵之间秩的关系前面两个证明存在性的问题看起来是比较新的题型，但具体分析一下就知道这都是很简单的，只是最后一个证明矩阵之间秩的不等式难度较大，是已有知识的一个应用2008证明80计算70求满足一定条件的矩阵，求行列计算题的题目都不是很难，式的值，求线性方程组的基础解系，一般只要是考生能正确的应用定求不变因子，约当标准型，极小多项义就可以做出来。式，线性变换的基线性方程组是否有公共解，关于代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵的正定，矩阵的相似，线性子空间的直和，线性变换的对角化问题，两个线性变换之间的关系证明题相对于计算题来说难度稍微大一些，但根据最近这些年武汉大学线性代数出题的规律来看，代数的题目都不难，所以基础一定要扎实。2007证明80综合来说，高等代数专业课这几年的题型变化不大，主要有计算和证明题型，难度略有增加，侧重于对基础知识点的掌握，在复习时，对于了解的知识点，复习的时候，一定要搞清楚各个概念以及它们之间的关系，需要了解的只是大多数是定义之类的简单东西，我们必须看到定义之间的练习，才能在做题的时候不混淆，对于熟悉的知识点，这类知识我们应该找一部分习题进行一下简单训练，这类知识点一般不会出很难得题目，但肯定会在考试中涉及，所以进行一定的训练是很有必要的；对于掌握的知识点，这类知识点是考试的重点，一定要多花些时间来做，首先是看一遍课本，然后做完课本上相应的习题，对这类知识点先有个大体的了解，然后再做我们所推荐的那两本习题，将那上面的相关题目完成后对付考研是没问题的。参考书目知识点分析
初试专业课《高等代数》总共包括1本书下面我将主讲高等代数的复习概要，同学可以做个标注：《高等代数》章节第1章第2章第3章第4章多项式行列式线性方程组矩阵章节名称重点×√√√√难点×必考点×√√√考试题型无计算行列式的值求解题目中的参数求矩阵的逆或证明矩阵秩之间的关系与正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵有关的证明证明线性空间同构，或求先行空间的维数√√求线性变换的特征向量特征值特征子空间，不变子空间等求约当标准型151525分值第5章二次型√√√15第6章线性空间√15第7章线性变换√20第8章入-矩阵与约当标准型√15第9章欧几里得空间√对称变换，反对称变换，正交变换，正交矩阵有关的证明求双线性变换的矩阵15第10章双线性函数与辛空间√15重点知识点汇总分析（大纲）
难易程度序号知识点细分（最大为★★★）不定元的观点1234多多项式的概念两种不同的定义项
多项式的运算式
多项式的次数整除及其性质★函数观点加法、减法、乘法不为零的项的最高次数为该多形式的次数★★★5678最大公因式多项式互素首项系数为1的最大公因式记为（f(x)，g(x)）★★★★?(x)f(x)??(x)g(x)?1
不可约多项式及其性质因式分解定理不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因9重因式式，如果p(x)/f(x),而p
k
(k?1)
★不整除f(x)
★★★★★★★★★10111213141516171819行列式多项式的根本原多项式艾森施坦因判别法多元多项式对称多项式行列式的定义，逆序的定义行列式的性质按一行（列）展开行列式的乘法拉普拉斯定理(laplace定理)?(j1j2...jn)为排列j1j2...jn的逆序数。转置以后其值不变，变换行列式的两行（列），行列式改变符号★★★★★★20克莱姆法则（Cramer法则）a11?a1n
设A????，且A?0，则有唯一an1?ann
解，其解为(D1,D2,?Dn)AAA★21线
性方程
组向量的线性相关性设?1,?2,?,?n?pn，若方程组x1?1?x2?2???xn?n?0，在p中有非零解，则称?1，?2，?，?n线性相关，否则称它们线性无关。★★2223线性方程组解得情况分类非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩矩阵的加法矩阵的数乘★★矩
矩阵及其运算阵
★★
武汉大学高等（线性）代数内部讲义
