若r?bD2或DbD?r?22则离子只能打到器壁或离子源外壁被吸收，不能从P射出。若离子从O射出后只运动半个圆周即从P射出，则r?bD2⑤将⑤式代入④式得，电子能够从P出射，可能的磁感应强度B的最小值为Bmin?22mUbDq⑥（2）若r?D2则离子将穿过上极板进入电场区域，被减速到零后，又重新反向加速至进入时的速率，从进入处再回到磁场区域。设这样的过程进行了k次，然后离子将绕过两极板右端从下极板进入电场区域被加速，再穿过上极板进入磁场时能量增加到2qU，运动半径增加到r1?2r?1?1r⑦这样加速n次后，离子做圆周运动的半径rn为rn?n?1r⑧当满足条件kr?rn?(n?1?k)r?bD2⑨或r?bD2(n?1?k)时，离子可从P处射出。另一方面，显然有k?1，且2kr?D?2(k?1)r解得⑩DD
?r?
2(k?1)2k由⑨⑩?式有?(n?1?k)
解得D2(k?1)
?
bD2
?(n?1?k)
D2k
?11(b?1)k?1?n?[(b?1)k?b]?1
由④?式可得222
?k?
D2rmax
?
DBmax2q2mU?
a2
a?a?的最大自然数??2?2??式中rmax是当B?Bmax时由④式定出的。因此k为不大于?a?k????2??由④⑨式知，磁感应强度B的其它所有可能值为B?1r2mUq?2(n?1?k)bD2mUq?式中k123?(b?1)2?1(b?1)222?1(b?1)232?1?2n(b?1)2(b?1)222(b?1)232?2(b?1)2?1(b?1)222?1(b?1)232?1?2????2?2b?1??2?2(b?1)?b?2?2?3(b?1)?b?2?2?2??a?2?a?2?a?(b?1)?1(b?1)????2???2???2????a???a?(b?1)2???1????(b?1)?b??2?2???2??（3）离子被电场加速了n?1次后，其出射能量为E?(n?1)qU?对于满足?式的k，n可以取到最大值为[(b?1)k?b]2?2，再由?式，可得出射离子的能量最大值为Emax?(nmax2??????a???1)qU???(b?1)???b??1?qU?2????????评分参考：第（1）问12分，①②③④⑤⑥式各2分；第（2）问23分，⑦⑧式各2分，⑨式4分，??????式各2分，?式3分；第（3）问5分，?式3分，?式2分。12六、（40分）1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm760nm）内的光谱线。仅考虑一维正碰。（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；（2）求加速后电子动能Ek的范围；（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。已知hc?1240nm?eV，其中h为普朗克常数，c为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。解：（1）由氢原子的能级公式13.6eVEn??, n?1,2,?n2①0ev-0.85ev-1.51ev-3.40ev可得氢原子的能级图如图所示。?分别为可见光光子能量的上限E1?和下限E2E1????E2hc?1hc??1240nm?eV?3.10eV400nm1240nm?eV?1.63eV760nm②③?2要能观察到可见光范围内的光谱线，发生跃迁的两能级的能量之差应在可见光的能量范围1.63eV~3.10eV-13.60ev④内。要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由氢原子的能级图可知，只能将氢原子激发到第二激发态，即能级n?3⑤氢原子第二激发态（n?3）到第一激发态（n?2）的能量差为E32?E3?E2?(?1.51eV)?(?3.4eV)?1.89eV⑥氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态所发出的可见光的波长为??hc?656nmE32⑦（2）要使氢原子能激发到能级n?3，需要提供的能量至少为E31?E3?E1?(?1.51eV)?(?13.60eV)?12.09eV⑧设电子质量为me，电子碰撞前后的速度分别为v1和v2，氢原子碰撞前后的速度分别为u1?0（由题意）和u2，电子因激发氢原子而损失的能量为?E（被氢原子吸收为激发能）。由动13量和能量守恒有mev1?mev2?Mu2⑨12mv21212e1?2mev2?2Mu2??E⑩由⑨⑩式消去u2，得m(M?mv22ee)2?2mev1v2?m2e(me?M)v1?2M?E?0?此式是关于v2的一元二次方程。注意到v2为实的常量，故方程?的系数应满足条件(?2m2(M?m2ev1)2?4mee)[me(me?M)v1?2M?E]?0?化简得E1mk?2m2ev1?(1?eM)?E?要使原子从基态仅激发到第二激发态，?E应满足E31??E?E41?式中E31已由⑧式给出，而E41?E4?E1?(?0.85eV)?(?13.60eV)?12.75eV
?由???式得(1?meM)EEm31?k?(1?eM)E41?由?式和题给条件得12.10eV?Ek?12.76eV?（3）如果将电子改为质子，?式成为(1?mpM)E31?Ek?(1?mpM)E41?式中mp为质子的质量。由?式和题给条件得24.17eV?Ek?25.49eV?设加速质子的加速电压为V。由eV?Ek（e为质子电荷）和?式得24.17V?V<25.49V?评分参考：第（1）问14分，①②③④⑤⑥⑦式各2分；第（2）问20分，⑧⑨式各2分，⑩式各3分，?式2分，?式4分，?式2分，?式1分，??式各2分；第（3）问6分，???式各2分。PP0
A七、（40分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为?的双原P0/2B14OV0/2V0V子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A到5B为直线过程，自B到A为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为R，R为气体2常量。（1）求直线AB过程中的最高温度；（2）求直线AB过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度Tc；（3）求整个直线AB过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。解：（1）直线AB过程中任一平衡态的气体压强p和体积V满足方程P?PV?V0P0?2P0?0V022?V0此即P?3PP0?02VV①0根据理想气体状态方程有PV??RT
②式中T是相应的绝对温度。由①②式得T?1???P?2?0R??P0V2?3?VPV0???02?V?3?9PV?0??RV04V0?0??16R③由③式知，当V?34V0④时，气体达到直线AB过程中的最高温度T9PVmax??0016R⑤（2）由直线AB过程的摩尔热容量Cm的定义有dQ??CmdT⑥由热力学第一定律有dU?dQ?PdV⑦由理想气体内能公式和题给数据有dU??CVdT??5R2dT⑧15
第34届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
