第34届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

(?1??2)(m?M)Mv02(?1??2)(M?m)v02?L?2[?1M+(?1??2)m]2g2?2[?1M?(?1??2)m]g满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。从制动到重物B与车厢前壁碰撞前，重物B克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B相对地面的速度为v2，由动能定理有1212mv2?mv0??2mg(s1?L)22⑧由⑧式得v2?v?2?2g(s1?L)?20(?1??2)(M?m)v02?2?2gL?1M?(?1??2)m设碰撞后瞬间重物B与卡车A的速度均为v，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒mv2?(m?M)v⑨由⑨式得mmv?v2?m?Mm?M(?1??2)(M?m)v02?2?2gL?1M?(?1??2)m碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为mMI?Mv?0?m?M(?1??2)(M?m)v02?2?2gL?1M?(?1??2)m⑩碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间vmv2t????1g?1?m?M?g再移动了一段路程?(?1??2)(M?m)v02??2?gL2??M?(???)m?12?1?才最终停止下来（对于卡车而言，这是第二次停下来）。重物撞上车厢前壁的时间是v?v2??0t2?2g所以，从卡车制动到车和重物都停下所用的总时间为?1?v?v2vmv2m??t??0t(i)?t2??0???v2?2g?1g(M?m)?2g??2g?1g(M?m)??m2?=s1?2?1g2?1(m?M)2gv2 ?v0?M?(?1??2)m?1?2g?1?2g(m?M)(?1??2)(M?m)v?2?2gL?1M?(?1??2)m20????卡车移动的总路程则为[?1M(m?M)?(?1??2)m2]v02?2m2L(i)s1=s1+s1???2?1(m?M)[?1M?(?1??2)m]g?1(m?M)2（ii）t?t1，即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞由⑨式的推导可知，条件t?t1可写成?6(?1??2)(m?M)Mv02L?2[?1M?(?1??2)m]2g由匀减速运动学公式，⑥式成为11v0t?a2t2?(v0t?a1t2)?L22解得碰撞发生的时间2L2LMt??a1?a2(?1??2)(m?M)g?和重物B的速度v2?分别为在碰撞前的瞬间，卡车A的速度v1??v0?a1t?v0?a1v12LM2LM??v0?a2t?v0?a2，v2(?1??2)(m?M)g(?1??2)(m?M)g?由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B和卡车A的共同速度v?为??Mv1?mv2ma2?Ma12LMv???v0?m?Mm?M(?1??2)(m?M)g?v0??12LMg(?1??2)(m?M)?由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为Mm2(?1??2)M?)?I??M(v??v12(a1?a2)L?mgLm?Mm?M卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和，由t?t(ii)?t?2LM与?式可得(?1??2)(m?M)g?vv??0??1g?1g卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和2v012v?2mL(ii)s1?v0t?a1t????22?1g2?1gM?m[另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和碰撞时的相互作用力（M?m)?1g。在此力作用下系统质心都是内力，水平外力只有地面作用于卡车的摩擦力做加速度大小为?1g的匀减速运动，从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为v?t(ii)?0?1g系统质心做匀减速运动的路程为2v0?xc=2?1g设制动前卡车和重物的质心分别位于x1和x2；制动后到完全停下卡车运动了路程s1(ii)，两个??x1?s1(ii)和x2??x2?s1(ii)+L。于是有质心分别位于x12??mx2?Mx1?mx2(M?m)s1(II)?mLv0Mx1?xc=???M?mM?mM?m2?1g由此解得s(ii)1?]评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤式各2分；第（2）30分，⑥式2分，⑦⑧⑨⑩?????式各2分，?????式各2分。72?1g2v0?mLM?m?四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O点与O1点为圆心的导电半圆弧内切于M点，半圆O的半径为2a，半圆O1的半径为a；两个半圆弧和圆O的半径ON围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B；其余区域没有磁场。半径OP为一均匀细金属棒，以恒定的角速度?绕OM?PQO1

ON点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP电阻为R，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P点与M点重合。在t（0?t?圆O1交于Q点。求（1）沿回路QPMQ的感应电动势；（2）金属棒OP所受到的原磁场B的作用力的大小。π?）时刻，半径OP与半解：（1）考虑从初始时刻t?0至时刻0?t?π，金属棒OP扫过的磁场区域的面积为2?S?S扇形OPM?S扇形O1QM?S?O1QO①式中，S扇形OPM、S扇形O1QM和S?O1QO分别是扇形OPM、扇形O1QM和?O1QO的面积。由几何关系得1S扇形OPM?(?t)(2a)221S扇形O1QM?(2?t)a22S?O1QO?(asin?t)(acos?t)②③④由①②③④式得1S?(2?t?sin2?t)a22⑤通过面积S的磁通量为??BS由法拉第电磁感应定律得，沿回路QPMQ的感应电动势为⑥???d?dt⑦式中，负号表示感应电动势沿回路逆时针方向（即沿回路QPMQ）。由⑤⑥⑦式得???(1?cos2?t)?a2B, 0??t?π2⑧8当π2??t?π?时，沿回路QPMQ的感应电动势与t?π2?时的一样，即???2?a2B, π2??t?π⑨（2）在t时刻流经回路QPMQ的电流为i??R⑩1式中RL1?R2a?这里，L为PQ的长。由几何关系得L?2a?2acos?t, 0??t?π2?L?2a, π2??t?π?半径OP所受到的原磁场B的作用力的大小为F?iLB?由⑧⑩???式得F?(1?cos2?t)2?a3B2πR, 0??t?2?由⑨⑩???式得F4?a3?B2R, π2??t?π.?评分参考：第（1）问22分，①②③④⑤式各2分，⑥⑦式各4分，⑧⑨式各2分；第（2）问18分，⑩式4分，???式各2分，?式4分，??式各2分。9五、（40分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为q（q?0）的离子，OD

bD

P

S

由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板图a右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD（常数b为大于2的自然数）。已知磁感应强度大小在零到Bmax之间可调，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（1）可能的磁感应强度B的最小值；（2）磁感应强度B的其它所有可能值；（3）出射离子的能量最大值。DS图b解：（1）设离子从O点射入磁场时的速率为v，由能量守恒得1qU?mv22①由①式得v?2qUm②设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，有v2qBv?mr③由②③式得r?12mUBq④10