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第34届全国中学生物理竞赛复赛试题
一、（40分）
一个半径为r、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
二、（40分）
星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
??=
k
1+ε cos??式中，r是P 到太阳S 的距离，θ是矢径SP 相对于极轴SA 的夹角（以逆时针方向为正），??=
L2GMm2 ，L是P 相对于太阳的角动量，
G=6.67×10-11N·m2/kg2为引力常量，??≈1.99×1030????为太阳的质量，??=√1+
2????2??2??2??3
为偏心率，m 和E 分别为P 的质量和机械能。假设
有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D 两点，如图所示。已知地球轨道半径????≈1.49×1011??，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星 （1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C、D 两点时速度的大小。 已知积分公式∫
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x dx√x+a=(??+??)2?2??(??+??)2+??，式中C是任意常数。
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2
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三、（40分）
一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物B，在水平直公路上以速度 v0 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L（L>0）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为μ1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为μ2（μ2<μ1），若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g 。
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走 过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B 与 车厢前壁不发生碰撞的条件；
（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的 时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。
四、（40分）
如俯视图，在水平面内有两个分别以O 点与O1 点为圆心的导电半圆弧内切于M 点，半圆O 的半径为2a ，半圆O1 的半径为a；两个半圆弧和圆O 的半径ON 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B ；其余区域没有磁场。半径OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度ω绕O点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP 电阻为R ，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P 点与M 点重合。在t(0≤t≤??)时刻，半径OP 与半圆O1 交于Q 点。求
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??
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（1）沿回路QPMQ 的感应电动势；
（2）金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小。
五、（40分）
某种回旋加速器的设计方案如俯视图a 所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U 。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S 中产
生的质量为m 、带电量为q（ q>0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁场区域，O 点到极板右端的距离为D ，到出射孔P 的距离为bD（常数b为大于2 的自然数）。已知磁感应强度大小在零到 Bmax 之间可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域，最终只能从出射孔P 射出。假设
如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求 （1）可能的磁感应强度B 的最小值； （2）磁感应强度B 的其它所有可能值； （3）出射离子的能量最大值。
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六、（40分）
1914 年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm~760nm ）内的光谱线。仅考虑一维正碰。 （1）求该氢原子能发出的可见光的波长； （2）求加速后电子动能 Ek 的范围；
（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。
已知 hc=1240nm ?eV，其中h为普朗克常数，c 为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836 倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。
七、（40分）
如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到A 为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为2 ， R 为气体常量。 （1）求直线AB 过程中的最高温度；
（2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度 T c；
（3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。
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八、（40分）
菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F 点）。已知透镜材料的折射率为n，从透镜中心O（球冠的顶点）到焦点F的距离（焦距）为 f （平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F点），相邻环带的间距为d （d 很小，可忽略同一带内的球面像差；d 又不是非常小，可忽略衍射效应）。求
（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离； （2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。
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第34届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
