人教A版高中数学必修5同步检测
第二章数列 2.2等差数列 第2课时等差数列的性质
-------------- 高效演练 知能提升
A级基础巩固
一、选择题
1设数列｛an｝, ｛bn｝都是等差数列，且 ai= 25, 4 = 75, a? + b?
=100,那么由an + bn所组成的数列的第37项值为(
A. 0 B. 37 C. 100 D . -37
解析：设 c?= an+bi,贝卩 c1 = a1 + b1 = 25+ 75= 100, 9= a2+ d =100,故 d= c2-c1 = 0,故 Cn= 100(n� N*)，从而 Q7= 100.
答案：C
2. 如果数列｛an｝是等差数列，则下列式子一定成立的有( A. a“ + a8< a4 + a5 C. a“ + a8> a4 + a5
B. a“ + a8=a4 + a5 D. a“a8= da5
)
)
解析：由等差数列的性质有a“+ a8= a4+a5? 答案：B
3. 由公差0的等差数列a1, a：,…，an组成一个新的数列 a1 + a3, az+ a4, 83+a5，…下列说法正确的是(
A.新数列不是等差数列
B .新数列是公差为d的等差数列 C. 新数列是公差为2d的等差数列 D. 新数列是公差为3d的等差数列
1
)
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解析：因为
(a
n 1
+
+
a+
n 3
)— (an + n + 2)= (a“ 1 + n) + (a“ 3
a
+
a+
—
a+
n 2
)=
2
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2d,
所以数列a“ + a3, a2+ a4, a3+ a5,…是公差为2d的等差数列. 答案：C 4.
在数列｛an｝中，a3= 2, a7= 1,如果数列*玄+ 1 j是
等差数列, 那么a-n等于（ ）
1 1 2
A.g B.Q C?3 D . 1 1
解析: 依题意得
a
+ 1 = 2」a, 3+ 1 an +1 7+ 1
所以 1
2 _ _1_ _ 2 an + 1 +1_ 2+ 1 =
3, 1 1
所以an= 2 答案：B
5. 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正 数，第七项起为负数，则它的公差是（
）
A. — 2 B. — 3 C . — 4 D. — 5
解析：设该数列的公差为d,则由题设条件知：a6 = aq + 5d>0, a1 + 6d<0.
又因为a1 = 23,
d>
23 — 5 , 即一 23 23 所以
23 5 < _ 6 , d< 6 , 又因为d是整数, 所以d=_ 4. 答案：C 、填空题 3 a7 = 人教A版高中数学必修5同步检测 6. 在等差数列｛an｝中，a3, a10是方程x2-3x — 5= 0的根，贝S + a8= ________ . 解析：由已知得a3 + a10= 3. 又数列｛an｝为等差数列， 所以 a5+ 比=a3 + a“o= 3. 答案：3 7. 数列｛an｝满足递推关系 Oi = 3a*-1 + 3n — 1(n� N , n > 2), aq =5,则使得数列彳勾+巴?为等差数列的实数m的值为 ____________ . 解析：a1 = 5, a2= 3 x 5+ 32 — 1 = 23, a3 = 3 x 23 + 33 — 1 = 95, 依题意得 所以2 23tm= 23+ m 95+ m 32 , 33 成等差数列, 95+ m 33 8.已知数列佃｝满足ai= 1,若点 韜在直线x-y+ 1 = 0 上，贝y an = _____________ . 解析：由题设可得加 :+ ；-即:+1n -1所以数列需 + 1 0 - 是以1为公差的等差数列，且首项为 1,故通项公式：=n,所以an =n2. 答案：n2 4 人教A版高中数学必修5同步检测 三、解答题 9. 在等差数列｛a*｝中，若 ai+ a? + …+ a5 = 30, a6 + a?+…+ ai0 =80, 求 an + ai2 +…+ ai5. 解：法一：因为 1+ 11= 6 + 6, 2+ 12= 7 + 7,…，5+ 15= 10+10, 所以 a“+ an = 2a6, a2 + a“2=2a7,…，a5+ a“5= 2a1°. 所以 但1 + a? + …+ a5)+ (a^ + a^ +…+ a^) = 2(a6 + a? + …+ a 10 ). 所以 an + a12 +…+ a15 = 2(a§ + 命 + …+ a^) — (a“ + a? +…+ a5) =2X 80 — 30= 130. 法二：因为数列｛an｝是等差数列，所以 a1 + a2+…+ , a6 + a? + …+ a10, an + a“2 +…+ a“5也成等差数列，即 30, 80, an + a“2 +… + a15成等差数列. 所以 30+ (a^ + a12+…+ a15)= 2 X 80, 所以 an + a12 + …+ a15 = 130. 10. 已知无穷等差数列｛a*｝，首项a1 = 3,公差d= — 5,依次取 出项的序号被4除余3的项组成数列｛bn｝. (1) 求 b1 和 b2; (2) 求数列｛bn｝的通项公式； (3) 数列｛bn｝中的第110项是数列｛an｝中的第几项？ 解：(1)由题意，等差数列｛an｝的通项公式为an= 3 + (n —1)( — 5) =8—5n, 设数列｛0｝的第n项是数列｛an｝的第m项，则需满足m= 4n— 1, * n � N , 5
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