15．（2019春?乳山市期末）如图，边长为3正方形OACD的顶点O与原点重合，点D，A在x轴，y轴上．反比例函数y＝（x≠0）的图象交AC，CD于点B，E，连按OB，OE，BE，S△OBE＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作y轴的平行线m，点P在直线m上运动，点Q在x轴上运动； ①若△CPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求△CPQ的面积；
②将“①”中的“以P为直角顶点的”去掉，将问题改为“若△CPQ是等腰直角三角形”， △CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是 ．（直接写答案，不用写步骤）
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参考答案
1．解：（1）把A（8，2）代入y＝，得k＝8×2＝16． ∴反比例函数的解析式为y＝
，
把A（8，2）代入y＝mx+10，得到m＝﹣1， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10， 解方程组
，得
或
，
∴点B的坐标为（2，8）； www.czsx.com.cn （2）①若∠BAP＝90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣x+10，
当y＝0时，﹣x+10＝0，解得x＝10， ∴点E（10，0），OE＝10． ∵A（8，2），∴OH＝8，AH＝2， ∴HE＝10﹣8＝2， ∵AH⊥OE，
∴∠AHM＝∠AHE＝90°， 又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°， ∴∠MAH＝∠AEM， ∴△AHM∽△EHA， ∴
＝
， ∴＝
，
∴MH＝2， ∴M（6，0），
可设直线AP的解析式为y＝k′x+b，
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则有，
解得
，
∴直线AP的解析式为y＝x﹣6， 解方程组
，得
或
，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣8）． ②若∠ABP＝90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣8，﹣2），
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）、（﹣8，﹣2）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT， ∴△CTD∽△BSD， ∴＝
，
∵＝， ∴
＝
＝，
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）， ∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b， ∴＝，即b＝a．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y＝的图象上， ∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10）， ∴a（﹣2a+10）＝a（﹣2×a+10）． ∵a≠0，
∴﹣2a+10＝（﹣2×a+10）， 解得：a＝3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）． 设直线BC的解析式为y＝px+q，
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则有，
解得：
，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2．
当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2， ∴S△COB＝S△ODC+S△ODB ＝OD?CT+OD?BS ＝×2×3+×2×2＝5． ∵OA＝OC， ∴S△AOB＝S△COB， ∴S△ABC＝2S△COB＝10．
2．解：（1）由题意M（1，4），n（4，1）， ∵点M在y＝上， ∴k＝4；
（2）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；如图1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，
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过Q作QH⊥x轴于H，
易得：△COP≌△PHQ， ∴CO＝PH，OP＝QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y＝； 当x＝1时，y＝4， ∴M（1，4）， ∴OC＝PH＝4 设P（x，0）， ∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时， x（x+4）＝4， x2+4x+4＝8， x＝﹣2±2，
当x＝﹣2+2时，x+4＝2+2，如图1，Q（2+2，﹣2+2
）；
当x＝﹣2﹣2
时，x+4＝2﹣2
，如图2，Q（2﹣2
，﹣2﹣2
）；
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2020年中考数学一轮复习培优训练：《反比例函数》及答案
