第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念 第1课时
考点1 对集合的含义的理解
1.(2019·河北张家口联考)下列各选项中,不能组成集合的是( )。 A.所有的整数 B.所有大于0的数
C.高一(1)班所有长得帅的同学 D.所有的偶数 答案：C
解析：集合中的元素具有确定性,而C选项中高一(1)班所有长得帅的同学不满足这一条件。 2.(2019·河北衡水枣强中学检测)下列各组集合中,表示同一个集合的是( )。 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={(1,2)},N={1,2} 答案：B
解析：选项A,两个集合中的元素是有序数对,显然元素不同;选项C,集合M表示的是直线x+y=1上的点,而集合N表示的是直线y=1-x上的点的纵坐标,不是同一个集合;选项D,集合M中的元素是有序数对,而集合N中的元素是1,2两个数,不是同一个集合;选项B,两个集合都表示由2,3这两个元素构成的集合。
3.(2019·江西樟树联考)下列说法中正确的是( )。 A.参加某一次大地震救援的所有国家组成一个集合 B.樟树中学年龄较小的学生组成一个集合 C.{1,2,3}与{2,1,3}是不同的集合
D.由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素 答案：A
解析：对于B,不满足确定性,故B错误;对于C,根据集合中元素的互异性可得{1,2,3}与{2,1,3}是同一个集合,故C错误;对于D,根据集合中元素的互异性,由1,0,5,1,2,5组成的集合有四个元素。
4.(2019·湖南娄底高一调考)考察下列每组对象,能组成一个集合的是( )。 ①某中学高一年级聪明的学生;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于3的正整数;
④√3的近似值。 A.①② B.③④C.②③ D.①③ 答案：C
解析：①“某中学高一年级聪明的学生”的标准不确定,因而不能构成集合;②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定,能构成集合;③“不小于3的正整数”的标准确定,能构成集合;④“√3的近似值”的标准不确定,不能构成集合。
5.(2019·合肥八中模块测试)下列每组对象能构成一个集合的是( )。
①2022年冬季奥运会的举办城市;②2019年高考数学试卷中所有的难题;③清华大学2019级的新生;④接近0的数的全体;⑤比较小的正整数的全体;⑥平面上到坐标原点O的距离等
于1的点的全体。
A.①②⑥ B.①③⑥C.②④⑤ D.①③④ 答案：B
解析：②中“难题”不确定,④中“接近0的数”不确定,⑤中“比较小的正整数”不确定。
2
6.(2019·湖南长郡中学检测)已知集合A含有两个元素2,-1,集合B含有两个元素m-m,-1,且集合A与集合B相等,则实数m等于( )。 A.2 B.-1C.2或-1 D.4 答案：C
2
解析：由于两个集合相等,因此m-m=2,解得m=2或m=-1。 考点2 集合中元素的特性
7.(2019·北京四中测试)下列说法正确的是( )。 A.某个班年龄较小的学生组成一个集合
B.由数字1,2,3和3,2,1可以组成两个不同的集合 C.由数字0,,0.5,|-|,sin30°组成的集合含有3个元素
2
2
1
1
D.从1,2,3这三个数字中取出一个或两个数字能构成一个集合 答案：D
解析：A中的这组对象是不确定的,因为年龄较小没有明确标准,所以不能构成集合。B中的数字1,2,3与3,2,1只能构成一个集合,因为集合中的元素是无序的。C中的五个数值形式归入同一集合中只有两个元素,故选D。
2
8.(2019·银川一中测试)已知集合M含1,2,x三个元素,则x满足( )。 A.x≠1,且x≠√2 B.x≠±1
C.x≠±√2 D.x≠±1,且x≠±√2 答案：D
??2≠2,??≠±√2,解析：∵{2∴{即x≠±1,且x=±√2。
??≠1,??≠±1。
9.(2019·南昌一中测试)已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )。
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 答案：D
解析：因为集合中元素具有互异性,所以a,b,c互不相等,因此选D。
10.(2019·西北工大附中单元测评)由实数x,-x,|x|,√??2?√??3所组成的集合中最多含有( )。,
A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素 答案：A
解析：∵√??2=|x|,-√??3=-x,∴由实数x,-x,|x|,√??2,-√??3所组成的集合中最多含有2个元素,故选A。
22
11.(2019·广东广雅中学单元检测)以方程x-5x+6=0和方程x-x-2=0的根为元素的集合中共有 个元素。 答案：3
22
解析：方程x-5x+6=0的根是2,3,方程x-x-2=0的根是-1,2。根据集合中元素的互异性知,以两方程的根为元素的集合中共有3个元素。
3
3
3
12.(2019·西安调考)设x,y,z是非零实数,若a=|??|+|??|+|??|+|??????|,则以a的值为元素的集合中元素的个数是 。 答案：3
解析：当x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时,a=0。所以以a的值为元素的集合中有3个元素。 考点3 元素与集合的关系
13.(2019·海南临高二中月考)下列关系中,正确的有( )。 ①2∈R;②√2?Q;③π∈Q;④|-3|?N;⑤-√4∈Z。 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 答案：C
解析：为实数,故①正确;√2是无理数,故②正确;由于π是无理数,故③不正确;|?3|=3∈2N,故④不正确;?√4=?2∈Z,故⑤正确。综上,①②⑤正确。
14.(2019·浙江杭州四中检测)设x=3-52,y=3+√2π,集合M={m|m=a+b√2,a∈Q,b∈Q},那么
√177
????????????
x,y与集合M的关系是( )。 A.x∈M,y∈M B.x∈M,y?M C.x?M,y∈M D.x?M,y?M
答案：B 解析：x=13-5√=--√2,即a=-,b=-;y=3+√2π,即a=3,b=π,故x∈M,y?M。 241414141
3535
15.(2019·海口中学单元测评)集合A中只含有三个元素2,4,8,若a∈A,且8-a∈A,则a为
( )。
A.2 B.4C.8 D.0 答案：B
解析：若a=2,则8-a=8-2=6?A;若a=4,则8-a=8-4=4∈A;若a=8,则8-a=8-8=0?A,故选B。 16.(2019·深圳中学周测)若集合A中只含有元素a,则下列关系正确的是( )。 A.0∈A B.a∈AC.a?A D.a=A 答案：B
解析：集合A中只含有元素a,则a是集合A中的元素,即a∈A。故选B。
17.(2019·黑龙江大庆中学高一期中)已知3∈{1,a,a-2},则实数a的值为( )。 A.3 B.5C.3或5 D.无解 答案：B
解析：因为3∈{1,a,a-2},所以a-2=3或a=3。当a-2=3,即a=5时,满足题意;当a=3时,不满足集合中元素的互异性,故舍去。综上可得a的值为5,故选B。 18.(2019·福建闽侯第四中学高一期中)已知集合A={x|x≤10},a=√2+√3,则??与集合??的关系是( )。 A.a∈A B.a?AC.a=A D.{a}∈A 答案：A
解析：因为√2+√3<10,所以a∈A,故选A。
19.(2019·江苏宿豫中学高一检测)下列命题中正确的个数为 。 ①N中最小的元素是1;
②a∈N,则-a?N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;
④|-√3|∈Q。 答案：D
解析：自然数集中最小的元素是0,故①③不正确;若a∈N,则a是自然数,当a=0时,-a仍为自然数,故②也不正确;√3是无理数,故④不正确。
20.(2019·黄冈中学周练)用符号“∈”或“?”填空。
设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p M,q M。 答案：∈ ?
解析：矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q?M。
2
21.(2019·东北师大附中月考)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x+1,若t∈A,则t的值为 。 答案：0或1
2
解析：因为y=-x+1≤1,且y∈N,所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1。又t∈A,所以t=0或1。
2
22.(2019·宁波效实中学测试)集合A中含有三个元素0,1,x,且x∈A,则实数x的值为 。 答案：-1
2
解析：当x=0,1,-1时,都有x∈A,但考虑到集合中元素的互异性,x≠0,x≠1,故答案为-1。 23.(2019·银川一中单元检测)已知x∈N,且的元素为 。 答案：0,1,2,5 解析：因为x∈N,且
6??+1
6??+1
∈Z,若x的所有取值构成集合M,则集合M中
∈Z,则x+1=1,2,3,6,即x=0,1,2,5,所以集合M中的元素是0,1,2,5。
2
24.(2019·青岛二中检测)已知集合A是由a-2,2a+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,则实数a= 。 答案：-2 解析：由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a+5a, 所以a=-1或a=-2。
当a=-1时,a-2=-3,2a+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去。 当a=-时,a-2=-,2a+5a=-3,满足题意,所以a=-。
2
2
2
3
7
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2
3
3
3
25.(2019·湖北枝江一中单元测评)已知方程ax+2x+1=0,a∈R的根组成集合A。 (1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
2
答案：A中有且只有一个元素,即ax+2x+1=0有且只有一个实根或有两个相等的实根。①当
2
a=0时,方程的根为-2;②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为-1。
综上,当a=0时,集合A中的元素为-2;当a=1时,集合A中的元素为-1。
(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件;
2
答案：A中至少有一个元素,即方程ax+2x+1=0有两个不等实根或有两个相等实根或有一个
1
1
实根。
①当方程有两个不等实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,∴a<1且a≠0; ②当方程有两个相等实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,∴a=1; ③当方程有一个实根时,a=0。故a≤1。
(3)当A中至多有一个元素时,求a满足的条件。 答案：①A中只有一个元素时,a=0或a=1。 ??≠0,
②A为空集时,{
??<0,
解得a>1。
综上知A中至多有一个元素时,a的取值范围为a≥1,或a=0。
2
26.(2019·西南师大附中检测)集合A中共有3个元素-4,2a-1,a,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则求出来;若不能,则说明理由。
2
答案：解:∵9∈A,∴2a-1=9或a=9。
若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去。
2
若a=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去。
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;B中的元素为9,-8,4,符合题意。 综上所述,能根据已知条件求出实数a的值,且a=-3。 第2课时 集合的表示 考点1 集合的表示方法
2
1.(2019·福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考)把集合{x|x-4x+3=0}用列举法表示为( )。
2
A.{1,3} B.{x|x=1,x=3}C.{x-4x+3=0} D.{x=1,x=3} 答案：A
2
解析：解方程x-4x+3=0得x=1或x=3,用列举法表示解集为{1,3}。
2
2.(2019·陕西黄陵中学月考)已知集合M={y|y=x},用自然语言描述M应为( )。
2
A.满足y=x的所有函数值y组成的集合
2
B.满足y=x的所有自变量x的取值组成的集合
2
C.函数y=x图像上的所有点组成的集合 D.以上均不对 答案：A
222
解析：由于集合M={y|y=x}的代表元素是y,而y为函数y=x的函数值,则M为满足y=x的所有函数值y组成的集合。
*
3.(2019·北京育才学校期中)集合{x∈N|x<6}的另一种表示方法是( )。 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 答案：D
*解析：N是非零自然数。
??+??=5,
4.(2019·长沙一中月考)将集合{(??,??)|{}用列举法表示,正确的是( )。
2??-??=1A.{2,3} B.{(2,3)} C.{x=2,y=3} D.(2,3)
2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念一课一练(含解析)人教A版必修一
