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第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 理
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q3．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－mn－1
.
(n，m∈N)．
*
*
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则ak·al＝am·an.
?1??an?(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，??，{a2n}，{an·bn}，??仍是等比数列．
?an??bn?
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝
－
1－q
＝a1－anq
. 1－q
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q. 【知识拓展】 等比数列{an}的单调性
??a1>0，
(1)满足?
??q>1??a1>0，
(2)满足?
?0 (3)当? ?q＝1? n ??a1<0，或???0 时，{an}是递增数列． 时，{an}是递减数列． 时，{an}为常数列． (4)当q<0时，{an}为摆动数列． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 精选中小学试题、试卷、教案资料 (1)满足an＋1＝qan(n∈N，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项?G＝ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) 2 * 1 1．(教材改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( ) 41 A．－B．－2 21 C．2 D. 2答案 D a5113 解析 由题意知q＝＝，∴q＝. a282 2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( ) A．21 B．42 C．63 D．84 答案 B 解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q＋q)＝21，解得q＝－3(舍去)或q＝2，于是a3＋a5＋a7＝q(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 答案 C 解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)＝S2·(S6－S4)，即12＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C. 4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q，q＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. S5 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. S2答案 －11 解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2， 3 4 3 3 2 2 2 2 2 4 2 精选中小学试题、试卷、教案资料 ∴S5＝－S21－q ·1－qa － ＝1－q51－－ 1－q2＝1－4 ＝－11. 题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a1 n}满足a1＝4，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( A．2 B．1 C.11 2D.8 (2)已知等比数列{a55Sn n}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝2，a2＋a4＝4，则an＝________. 答案 (1)C (2)2n－1 解析 (1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a24， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a24＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 则由a3 134＝a1q，得2＝4q，解得q＝2， 所以a1 2＝a1q＝2.故选C. ??a1＋a3＝5 ?2 ，(2)∵??a2＋a4＝5 4 ， ?a1＋a1q2＝5 ， ①∴??2??a1q＋a1q3＝5 4 ， ② 由①除以②可得1＋q2 q＋q3＝2， 解得q＝1 2，代入①得a1＝2， ∴a1n－14 n＝2×(2)＝2n， 2×[1－ 1∴S＝ 2 n＝4(1－1 1－12n )， 2Sn－1∴2nan ＝4＝2n－1. 2n )
2018版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和理
