2．2 基本不等式 第1课时 基本不等式
考点 基本不等式 利用基本不等式求最值 问题导学 预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？
3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
1．重要不等式与基本不等式
学习目标 理解基本不等式的内容及导出过程 能够运用基本不等式求函数或代数式的最值 核心素养 逻辑推理 数学运算
■名师点拨
a＋b
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数
2即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)两个不等式时，等号成立”．
2．基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则
S2
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
4(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2P． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■名师点拨
a2＋b2≥2ab
a＋b和≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b
2
利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： a＋b
①一正：符合基本不等式≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；
2②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( ) (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.( ) a＋b?
(3)若a>0，b>0，则ab≤??2?.( ) ba
(4)a，b同号时，＋≥2.( )
ab1
(5)函数y＝x＋的最小值为2.( )
x答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 1
如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )
aA．2 C．3
1
解析：选D.因为a>0，所以a＋＋2≥2
a
B．22 D．4
1
a·＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号． a
2
1
不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
x－2yA．x≥2y C．x≤2y
B．x>2y D．x<2y
解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，故选B.
已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
?x＋（1－x）?2?1?21
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤??＝?2?＝4，当且仅
2??111
当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
224
11
答案：
42
对基本不等式的理解
下列结论正确的是( ) 4
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
xB．当x>0时，x＋
1
≥2 x
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0 x 4 【解析】 对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本 x不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，11即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0 xx13大值2－＝. 22 【答案】 B 应用基本不等式时的三个关注点 ba 给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2 ab成立的条件有( ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 baba 解析：选C.当，均为正数时，＋≥2，故只须a，b同号即可，所以①③④均可以．故 abab选C. 利用基本不等式直接求最值 t2－4t＋1 (1)已知t＞0，求y＝的最小值； t
2024-2024学年高中数学人教A版(2024)必修第一册教师用书：2.2 第1课时 基本不等式
