【创新方案】高考数学(理)一轮知能检测：第2章 第1节 函数及其表示

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第一节 函数及其表示

[全盘巩固]

1

1．函数y＝x?x－1?－lg的定义域为( )

x

A．{x|x>0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x<0} D．{x|0

??x?x－1?≥0，1

解析：选B 要使函数y＝x?x－1?－lg有意义，需?解得x≥1.

x??x>0，

2．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是 ( ) A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7

解析：选B 因为g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，所以g(x)＝2x－1. 3．下列各组函数表示相同函数的是( )

A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2 B．f(x)＝1，g(x)＝x2

??x，x≥0，x2－1

C．f(x)＝?g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝

x－1?－x，x<0，???t，t≥0，

解析：选C g(t)＝|t|＝?

?－t，t<0.?

x??2＋1，x<1，

4．(2014·舟山模拟)已知函数f(x)＝?2若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )

??x＋ax，x≥1，

14

A. B. C．2 D．9 25

解析：选C f(0)＝20＋1＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a，所以4＋2a＝4a，即a＝2. 1?5．(2014·南昌模拟)具有性质：f?我们称为满足“倒负”变换的函数．下?x?＝－f(x)的函数，列函数：

x，0

??0，x＝1，11

①y＝x－；②y＝x＋；③y＝?xx1

－??x，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( )

A．①② B．①③ C．②③ D．①

1?11?1?＝1＋1解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f?＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f?x?x1x?x?x

x

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?1??1?＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，f?x?＝?0，x＝1，

1?－x，?x>1，

1?

故f??x?＝－f(x)，满足题意．

11

，0<<1，xx

1?

即f??x?＝0，x＝1，

??

???－x，0

1

，x>1，x

??log2?8－x?，x≤0，

6．(2014·烟台模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?则f(3)

?f?x－1?－f?x－2?，x>0，?

的值为( )

A．1 B．2 C．－2 D．－3

解析：选D f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.

7．函数y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．

??－2≤x≤4，

解析：由题意知?解得－2≤x≤2.

?－2≤－x≤4，?

答案：[－2,2]

1，x>0，??

8．(2014·丽水模拟)设f(x)＝?0，x＝0，

??－1，x<0，________．

解析：∵π是无理数，∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0. 答案：0

??－|x＋1|，x≤0，

9．已知函数f(x)＝?2则不等式f(x)<0的解集为________．

?x－1，x>0，?

??1，x为有理数，

g(x)＝?则f(g(π))的值为

?0，x为无理数，?

解析：

画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x轴下方时f(x)<0，此时x的取值范围是{x|x<1且x≠－1}．

答案：{x|x<1且x≠－1}

10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.求f(x)的解析式． 解：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.

把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，

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∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.

?x－1，x>0，?

11．(2014·绍兴模拟)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝?

?2－x，x<0.?

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值； (2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．

解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x<0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.

2??x－2x，x>0，

所以f(g(x))＝?2

?x－4x＋3，x<0.?

当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 当－1

2??x－2，x>1或x<－1，

所以g(f(x))＝?

?3－x2，－1

cx＋1?0

12．已知函数f(x)＝?满足f(c2)＝，其中0＜c＜1. x8

??2－c2＋1?c≤x<1?(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)>

2

＋1. 8

991

解：(1)∵0

8820

(2)由(1)得f(x)＝?

?1≤x<1?.2＋1??2?

－4x

11

由f(x)>

2＋1，知 8

11221

当0＋1，解得

228421215－

当≤x<1时，有24x＋1>＋1，解得≤x<. 2828所以f(x)>

?225?

＋1的解集为?x

[冲击名校]

1．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1

A．A＝N*，B＝N

B．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0

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C．A＝{x|0

解析：选D 对选项A，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同构”的，－8，x＝－1，??

应排除A；对选项B，取f(x)＝?x＋1，－1

??x2＋1，0

所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8

π

πx－?(0

2．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4.对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1 [g(x)]．

7

(1)若x＝，则f1(x)＝________，f2(x)＝________；

16

(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，则x的取值范围为________． 7?77

解析：(1)∵x＝时，4x＝，∴f1(x)＝??4?＝1. 16477?3?3?＝[3]＝3. ∵g(x)＝－?＝，∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1

?4?4?4?4

(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.

??1≤4x<2，71

∴?∴≤x<.

162??3≤16x－4<4，

71?

答案：(1)1 3 (2)??16，2?

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