第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
1．(2020·内江市一模)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) 3??1
D．e1＝(2，－3)，e2＝?，－?
4??2
解析：B [对于A，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不可作为基底． 对于B，e1，e2是两个不共线向量，故可作为基底． 对于C，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不可作为基底． 对于D，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不可作为基底．故选B.]
2．(2020·包头市一模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝( )
A．－5 C．7
5
B. 21D．－
2
解析：D [∵向量a＝(－1,2)，b＝(λ，1)，∴a＋b＝(－1＋λ，3)， －1＋λ31
∵a＋b与a平行，∴＝，解得λ＝－.]
－122
3．(2020·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(－3，－2m)，b＝(1，m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2)
?6?B.?，＋∞?
?5?
C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) 6??6??D.?－∞，?∪?，＋∞?
5??5??
解析：D [由题意可知a，b为一组基向量，故a，b不共线， 6
∴－2m≠3(m－2)，即m≠.故选D.]
5
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－
1
c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) C．(2，－6)
B．(－2,6) D．(－2，－6)
解析：D [设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．]
→→→→→→→
5．已知非零不共线向量OA、OB，若2OP＝xOA＋yOB，且PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，
y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0
B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0
→→→→→→→→→→→
解析：A [由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA?x＝2＋2λ，?→
＋yOB，所以?
??y＝－2λ，
消去λ得x＋y－2＝0，故选A.]
6．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝ ________ .
1
解析：因为2a＋b＝(4,2)，且c∥(2a＋b)，所以1×2－λ×4＝0，解得λ＝. 21答案： 2
→→?11?7．(2020·柳州市模拟)设A(1,1)、B?4，?，点C满足AC＝2CB，则点C到原点O的
2??距离为 ________ .
→→
解析：∵AC＝2CB， →→→→
∴OC－OA＝2(OB－OC)，
→1→→1??11??∴OC＝(OA＋2OB)＝??1，1?＋2?4，??
2??33??＝(3,4)．
→
∴|OC|＝5，即点C到原点O的距离为5. 答案：5
8．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝ ________ .
2
解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
a2＋b2－c21
所以a＋b－c＝ab，＝，
2ab2
2
2
2
1
结合余弦定理知，cos C＝，又0° 2答案：60° 9．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中π 点，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝. 3 →→→→ (1)试用向量AB，AD表示向量DM，DN； →→ (2)求|AB|，|AD|； →→→ (3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若AO＝xAD＋yAM，求x，y的值． →→→1→→ 解： (1)如图所示， DM＝DA＋AM＝AB－AD； 2→ DN＝DC＋CN＝AB＋CB＝AB－AD. →→→ 1→2→1→ 2 →2→4→ (2)由(1)知AD＝DN－DM， 33→ AB＝DN－DM， → 所以|AD|＝ 4→?4→?2→ ?3DN－3DM?2＝3，|AB|＝?? 2→?2?4→ ?3DN－3DM?2＝313. ?? 4→2→ 33 →→→ (3)由重心性质知：AO＋DO＋MO＝0，所以有： →→→→→→→→→→→0＝xAD＋yAM＋OA＝x(AO－DO)＋y(AO－MO)－AO＝(x＋y－1)AO＋(－x)DO＋(－y)MO. 1 所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1?x＝y＝. 3→→→ 10．已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试问： (1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． → 解：(1)∵AB＝(3,3)， → ∴OP＝(1,2)＋(3t,3t)＝(3t＋1,3t＋2)， 3 若点P在x轴上，则3t＋2＝0，解得t＝－2 3； 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－1 3 ； 若点P在第三象限，则?? ? 1＋3t<0，??2＋3t<0. 解得t<－2 3 . (2)不能，若四边形OABP成为平行四边形， 则→OP＝→ AB，∴??? 1＋3t＝3，?? 2＋3t＝3. ∵该方程组无解， ∴四边形OABP不能成为平行四边形. 4
(艺术生专用)2020版高考数学总复习第四章第2节平面向量的基本定理及坐标表示课时冲关
