类型三 操作探究型
【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′； (2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝__________． 【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，寻
找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系． …
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(一种方法即可) 【灵活运用】
如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)． 【分析】
【操作发现】(1)先找到点B，C的对应点B′，C′，再连接构成三角形即可； (2)求∠AB′B的度数可先判断△AB′B是等腰直角三角形，再求角度； 【问题解决】根据两种不同的想法，选择其中一个进行证明；
【灵活运用】需将△ABD绕点A旋转得到△ACG，再证明∠CDG＝90°即可． 【自主解答】
解：【操作发现】(1)如解图①所示，△AB′C′即为所求； (2)45°.
【解法提示】 连接BB′.∵△AB′C′是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到的， ∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°， ∴∠AB′B＝45°. 【问题解决】
如解图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C， ∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°－90°－120°＝150°，
例3题图②
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°， ∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°， ∴PP′＝32PC，即AP＝3
2PC.
∵∠APC＝90°，
∴AP2
＋PC2
＝AC2
，即(3
PC)2＋PC2＝722
，
∴PC＝27，∴AP＝21， ∴S＝1
△APC2AP·PC＝73；
【灵活运用】如解图③，连接AC. ∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转使得AB与AC重合，点D的对应点为G，连接BD＝CG.
例3题解图③
∵∠BAD＝∠CAG，
DG.则∴∠BAC＝∠DAG. ∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ABC∽△ADG. ∵AD＝kAB， ∴DG＝kBC＝4k.
∵∠BAE＋∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC， ∴∠ADG＋∠ADC＝90°， ∴∠GDC＝90°，
∴CG＝DG2＋CD2＝16k2＋25. ∴BD＝CG＝16k2＋25.
【难点突破】 在【灵活运用】一问中，要确定BD与k的数量关系，关键在于旋转△ABD，使得AB与AC重合，从而证明∠CDG＝90°，构造直角三角形是解决本题的难点，也是解决问题的突破口．
点拔
对于操作探究问题，首先掌握图形变换的性质，如图形的折叠：折痕为对称轴，有折痕就有角平分线，有折痕就有垂直平分等；图形的平移：有平移就有平行；图形的旋转：旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角为旋转角，有旋转就有等腰三角形；其次注意运用全等证明线段相等，利用勾股定理或相似求线段的长．
1．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形．
①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系______________；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系，并说明理由．
(2)若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变． ①如图③，猜想AE与DF的数量关系，并说明理由；
②将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图④中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．
2020年中考数学复习(通用)专题：几何压轴题型含答案
