专升本高等数学测试题
1.函数y?1?sinx是（ D ）．
（A） 奇函数； （B） 偶函数； （C） 单调增加函数； （D） 有界函数． 解析 因为?1?sinx?1，即0?1?sinx?2, 所以函数y?1?sinx为有界函数． 2.若f(u)可导，且y?f(e)，则有（ B ）；
（A）dy?f'(e)dx； （B）dy?f'(e)edx；
xx（C）dy?f(e)edx； （D）dy?[f(e)]'edx．
xxxxxxx解析 y?f(e)可以看作由y?f(u)和u?e复合而成的复合函数
x由复合函数求导法 y??f?(u)e????f?(u)?exxxx，
所以 dy?y??dx?f'(e)edx． 3.
???0e?xdx=( B );
(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.
???x??0解析
?0edx??ex?x?0?1?1．
4.y???2y??y?(x?1)e的特解形式可设为（ A ）；
2x (A)x(ax?b)e ； (B) x(ax?b)e；
x
x (C) (ax?b)e； (D) (ax?b)x．
22x解析 特征方程为r?2r?1?0，特征根为 r1=r2=1．?=1是特征方程的特征重根，于是有yp?x(ax?b)e．
25.
??Dx2?y2dxdy?( C )，其中D：1≤x2?y2≤4；
(A) (C)
??2π02π0d??r2dr； (B)
14??2π02π0d??rdr；
14d??r2dr； (D)
12d??rdr．
12解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式． 当??x?rcos?22时，dxdy?rdrd?，由于1≤x?y≤4，D表示为 1?r?2，0???2π，故
?y?rsin???Dx2?y2dxdy???r?rdrd??D?2π0d??r2dr．
12
6.函数y=
x?arcsin(?1)的定义域
23?x21解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小
于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即
??? ??????3?x?3, 3?x2?0, 推得??0?x?4,x?1?1,23, 因此，所给函数的定义域为 [0,3).
3?x?0,即 0?x?7. 求极限lim2?x?2 =
x?22?x解：原式=lim(2?x?2)(2?x?2)
x?2(2?x)(2?x?2)1
x?22?x?2 =lim=
1. （恒等变换之后“能代就代”） 4=
?8.求极限limx?1x1sinπtdt1?cosπx0解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
0? limx?1x1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1x1?cosπx
(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()??
x?1?πsinπxx?1?ππ9.曲线??x?t,在点（1，1）处切线的斜率 3?y?t,?1?t,?t?1, ?31?t,?解：由题意知：
dy?
dxt?1(t3)??(t)?t?1?3t2t?1?3,
?曲线在点（1，1）处切线的斜率为3
10. 方程y''?2y'?y?0, 的通解为 解： 特征方程r?2r?1?0, 特征根r1?r2?1, 通解为y?(C1?C2x)e.
x211. 交错级数
?(?1)n?1n?1?1的敛散性为
n(n?1)?11=?,
n(n?1)n?1n(n?1)（4） ???(?1)n?1?n?1而级数
1收敛，故原级数绝对收敛. ?n?1n(n?1)
12.lim(1?1x). （第二个重要极限）
x??x21x1x1x1?x?1?1解一 原式=lim(1?)(1?)?lim(1?)?lim[(1?)]=ee?1，
x??x?0x??xxxx1(?x2)(?x)0]=e?1． 解二 原式=lim[(1?2)x??x113.lim[x?011?ln(1?x)] xx20?或型. 0?
解 所求极限为???型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成
11x?ln(1?x)lim[?2ln(1?x)]?lim?lim2x?0xx?0x?0xx ?limx1?11?x 2x1?x?111?lim?.
x?02x(1?x)x?02(1?x)214.设f(x)?xe，求f'(x).
解：令y?x, 两边取对数得：lny?elnx, 两边关于x求导数得：
exx1exx ?y'?e?lnx?
yxexy'?y(elnx?)
xxex). 即 y'?x(elnx?xexx15.求f(x)?x3+3x在闭区间??5,5?上的极大值与极小值，最大值与最小值.
2解：f?(x)?3x?6x, 令f?(x)?0, 得x1?0,2x2??2,
f??(x)?6x?6, f??(0)?6?0, f??(?2)??6?0,
∴f(x)的极大值为f(?2)?4，极小值为f(0)?0.
(完整)专升本高等数学测试题(答案)
