旗开得胜 《2020年高考数学(理)热点快味餐》
专题07 解三角形
【热点知识点】
1. 利用正、余弦定理解三角形
2. 判定三角形形状
3. 与三角形面积、周长有关的问题
【高考真题赏析】
例1.(2019全国Ⅰ理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设
(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC.
(1)求A;
(2)若2a?b?2c,求sinC.
【解析】(1)由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC,故由正弦定理得b2?c2?a2?bc.
b2?c2?a21?. 由余弦定理得cosA?2bc2??因为0?A?180,所以A?60?.
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旗开得胜 (2)由(1)知B?120??C,由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC,
??即6312?cosC?sinC?2sinC,可得cos?C?60????. 2222由于0??C?120?,所以sinC?60????2,故 2sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60?
?6?2. 4例2.(2019全国Ⅲ理18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asinA?C?bsinA. 2(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
【解析】(1)由题设及正弦定理得sinAsinA?C?sinBsinA. 2因为sinA?0,所以sinA?C?sinB. 2A?CBBBB?cos,故cos?2sincos. 22222由A?B?C?180?,可得sin因为cosBB1?0,故sin?,因此B?60?. 2222
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旗开得胜 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC?3a. 4sin?120??C?csinA31由正弦定理得a????.
sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形,故0??A?90?,0??C?90?,由(1)知A?C?120?,所以30??C?90?,故
12?a?2,从而38?S3△ABC?2. 因此,△ABC面积的取值范围是??33???8,2???.
例3.(2019北京15)在△ABC中,a=3,b-c=2 ,cosB??12 .
(Ⅰ)求b,c的值; (Ⅱ)求sin(B-C) 的值.
【解析】(I)由余弦定理b2?a2?c2?2accosB,得b2?32?c2?2?3?c?????1?2??. 因为b?c?2,所以?c?2?2?32?c2?2?3?c?????1?2??.解得c?5, 所以b?7.
(II)由cosB??12得sinB?3c532.由正弦定理得sinC?bsinB?14.
在△ABC中,?B是钝角,所以?C为锐角.所以cosC?1?sin2C?1114. 读万卷书 行万里路
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2020高考热点专题突破07解三角形(解析版)
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