整体思想的解题策略
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
整体思想的解题策略
人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。
一、构造整体
在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。 例1：证明
11352n?1××…×＜ 2462n2n?11352n?12462n证：设M=××…×，N=××…×，显然M＜N
2462n3572n?11352n?12462n1则MN=(××…×)(××…×)=
2462n3572n?12n?1∵M2＜MN ∴M2＜
11 故M＜ 2n?12n?1评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。
例2：设三个方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。
解：设三个方程的公共实数根为x0，则 ax02+bx0+c=0 ① bx02+cx0+a=0 ② cx02+ax0+b=0 ③
①+②+③ (a+b+c)( x02+x0+1)=0
13∵x02+x0+1=(x0+)+＞0，∴a+b+c=0
24评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体，使问题的解决豁然开朗。
二、整体求解
解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。
例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。 解：设此四个数之和为x，则得方程
(x－22)+(x－20)+(x－17)+(x－25)=x，解得x=28 ∴四数依次为8、3、6、11
评注：本题解法考虑到四数之和——问题的整体，可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。
例4：已知2sinα－cosα=1，求解：设
sin??cos??1的值
sin??cos??1sin??cos??1=k，则(1－k)sinα+(1+k)cosα=k－1①
sin??cos??1又2sinα－cosα=1 ②
3k?32k cosα=(k≠3)
3?k3?k2k23k?32
由()+()=1 解得k=0或k=2
3?k3?k解①②得sinα=故原式的值为0或2 评注：本解法利用
sin??cos??1=k这一整体进行求解，能简捷解决问题。本题若
sin??cos??1由已知条件2sinα－cosα=1及sin2α+cos2α=1联立解得sinα、cosα的值，再代入求值，计算较为繁琐。
例 5、三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直，它们的面积分别是6m2,4m2,和3m2，求它的体积。
解 如图，设S-ABC的三侧棱长 分别为xm,ym,zm,体积为Z， 则由题意得
S
111xy=6, yz=4, zx=3 22211∴得(xyz)2=(24)2, 则V=xyz=×24=4m3
66
A
B
C
注 本题没用解方程组的方法，先求x,y,z，而将xyz视为一整体求值，故简捷而巧妙。
例 6、球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面积 S=2πph
分析与证明：如图，需求的 是S=π(r’+r)l ① ,但r’,r,l均未知， A 下面寻找它们与已知量h,p的关系。 为此作辅助线，将r’,r,l,h,p 都集中到有联系的图形之中。 （1）作DD’⊥AB ? DD’=h
（2）作EO⊥AD ?E为AD的中点（垂直于弦的半径平分弦）
r'?r（3）作EE⊥OO ? EE=
2‘
’
‘
D C D C B A B 在Rt △DD‘A和Rt △EE‘O中 DA⊥OE
DD‘⊥EE‘ ?∠ADD‘=∠OEE‘ ∠ADD‘，∠OEE‘为锐角
r?r'hEE'DD'‘‘
? 即 2? ?△DDA∽△EEO?plOEAD?（r+r’）l=2ph ② ②代入①得 S=2πph
注 按常规解法，必须把r,r’,l分别用p,h表示出来，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r’）l视为一整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。
三、整体换元
在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。
例7：等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若求limn??Sn2n= Tn3n?1an的值。 bn解：∵a1?a2n?1?2an，b1?b2n?1?2bn
1(a?a2n?1)an21∴==bn1(b1?b2n?1)2=
1(2n?1)(a1?a2n?1)S2=2n?1 1T2n?1(2n?1)(b1?b2n?1)22(2n?1)4n?2an2=，∴lim? n??3(2n?1)?16n?2bn3评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n、p、q∈N，且m+n=p+q时，则am+an=ap+qq，再将其作为一个整体代入，灵活又简便。
例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx 8，且f（ 2）=10，求f（2） 解： 设g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx
注意到g（x）= g（ x），即g（x）是奇函数，因此， g（2）= g（ 2） ∴f（2）=g（2） 8= g（ 2） 8= [f（ 2）+8] 8= 26
整体思想的解题策略
