若 f?{0,c,1,a,2,a}， 则f的逆关系 f?1?{a,1,a,2,c,0} 就不是一个函数。
?13再如，f：R?R，f(x)?x?2，则f(x)?3x?2。
函数的逆具有下面一些重要性质。
?1定理4.3.7 如果映射f：X?Y有逆映射 f：Y?X，则 f?1of?IX，
fof?1?IY 。
证明 因为f：X?Y是双射， 所以f：Y?X也是双射。 由定理4.3.2知，
?1f?1of：X?X和fof?1：Y?Y都是双射。
任取x?X,y?Y，若f(x)?y，f?1(y)?x，则
(f?1of)(x)?f?1(f(x))?f?1(y)?x (fof?1)(y)?f(f?1(y))?f(x)?y
所以，
f?1of?IX； fof?1?IY。
定理4.3.8 若f：X?Y是双射，则 (f?1?1?1)?f。
?1?1证明 因f：X?Y是双射，f：Y?X也是双射，因此，(f由于
domf=dom(f且
?1?1)：X?Y是双射。
)?X
x,y?(f?1)?1?y,x?f?1?x,y?f
所以， (f?1?1)?f。
?1定理4.3.9 若f：X?Y，g：Y?Z均为双射，则(gof)证明 （1）因f：X?Y，g：Y?Z 均为双射，故f?1?f?1og?1。
?1
和g均存在，且
f?1：Y?X，g?1：Z?Y均为双射，所以，f?1og?1：Z?X为双射。
根据定理4.3.2，gof：X?Z是双射，故(gof)：Z?X是双射，且
dom(f?1?1og?1)=dom(gof)?1?Z
（2）对任意z?Z?存在唯一y?Y，使得g(y)?z
?存在唯一x?X，使得f(x)?y
故
(f?1og?1)(z)?f?1(g?1(z))?f?1(y)?x
又
(gof)(x)?g(f(x))?g(y)?z
故
(gof)?1(z)?x
因此，对任一z?Z有： (gof)(z)?(f由（1）、（2）可知
?1?1og?1)(z)
f?1og?1?(gof)?1。
例4.3.5 设X?{0,1,2},Y?{a,b,c},Z?{?,?,?}，若有f：X?Y，g：Y?Z，其中，f?{1,c,2,a,3,b},g?{a,?,b,?,c,?}，求(gof)和f解 gof?{1,?,2,?,3,?}， (gof)?1?1?1og?1。
?{?,1,?,3,?,2}
f?1?{c,1,a,2,b,3}， g?1?{?,c,?,b,?,a} f?1og?1?{?,1,?,3,?,2}
可见，
(gof)?1?f?1og?1
习题4.3
1． 证明或反驳下列命题：
(1) 设B?A?X，f:X?Y为任一映射，则f(A?B)?f(A)?f(B)，其中
f(A)?{y|y?f(x),x?A}，f(B)?{y|y?f(x),x?B}， f(A?B)?{y|y?f(x),x?A?B}。
(2) f:X?Y是双射，当且仅当对X中任两个子集A与B，若AIB??，则
f(A)If(B)??。
(3) 设f:X?Y，X,Y均为有限集且X?Y，则下列命题等价： ① f是单射； ② f是满射； ③f是可逆的。 2．设f:R?R为f(x)?x?2，其中R为实数集，试求f3?1。
3．证明从X?Y到Y?X存在单射，并说明此映射是否为满射。 4．设X?{1,2,3,4}。
(1) 试定义映射f:X?X使f?IX且是单射。 (2) 求fof,fof,f2?1,fof?1。
(3) 能否找到另一g?IX的单射g:X?X，有gog?IX？ (4) 试定义一个映射f:X?X使f(5) 试定义一个映射f:X?X使f5．求下列各映射的逆映射：
(1) f:R?R,f(x)?x； (2) f:[0,1]?[,],f(x)?2?f且f?IX。 ?f且f?IX。
?11344x1?； 24(3) f:R?R,f(x)?x?2； (4) f:R?R,f(x)?2. 6．如果N为{0,1,2,L}且
xf:N?N为f(n)?n?1； g:N?N为g(n)?2n；
?0n为偶数 h:N?N为h(n)??1n为奇数?试求fof，fog，gof，goh，hog，(fog)oh。 7．设f:X?X，g:X?X为任意两个映射，证明
(1) 如果g不是满射，则gof也不是满射。 (2) 如果f不是单射，则gof也不是单射。 (3) 如果f为满射，fof?f，则f?IX。
4.4 置换
定义4.4.1 设X?{x1,x2,L,xn}，双射f：X?X称为集合X的置换(Permutation)，记作
p：X?X
这里，X中元素的个数X称作置换的阶。
定理4.4.1 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的总数为n！个。
?x1 证明 形如：p???p(x1)x2p(x2)x3Lp(x3)Lxn?
p(xn)??中的p(x1),p(x2),p(x3),L,p(xn)可以取x1,x2,x3,L,xn的任意一个全排列，故总数为n！个。
定义4.4.2 给定X?{x1,x2,L,xn}，恒等映射IX(x) ：X?X称为集合X上的恒等置换(Identical Permutation)，记作
?x1IX???x1x2x2x3Lx3Lxn? xn??定义4.4.3 设p是集合X?{x1,x2,L,xn}的置换，如果可以取到X的元素
?,x2?,L,xr?(1?r?n)，使p(x1?)?x2?,p(x2?)?x3?,L,p(xr??1)?xr?,p(xr?)?x1?，且X的其x1?x2?Lxr?)。 余元素（如果还有的话）不变，则称p为一个轮换，记为(x1若X?{x1,x2,x3}，则X的6个置换??x1?x1x2x2x3?,?x3??x1?x?2x2x1x3?,?x3??x1?x?1x2x3x3?, ?x2??x1?x?3x2x2x3?,x1???x1?x?2x2x3x3?,x1???x1?x?3x2x1x3?都是轮换，它们分别记为(x1),(x1x2),(x2x3), x2??x2x1x3x4x4?不是轮换。?x3??x(x1x3),(x1x2x3)和(x1x3x2)。当X?{x1,x2,x3,x4}时，置换?1?x2一般地，X?3时，X的置换都是轮换；X?3时，X的置换未必是轮换。
定义4.4.4 把置换看作定义在集合X?{x1,x2,L,xn}上的双射，置换的复合定义为相应映射复合构成的置换。
?1234??1234?例如， p1???， p2??4321?
3124????则 p1op2???1234??1234?， pop?21????4213??2431?可见，p1op2?p2op1。
两个轮换(xi1xi2Lxir)与(xj1xj2Lxjs)的复合记为： (xj1xj2Lxjs)(xi1xi2Lxir)。 定义4.4.5给定X?{x1,x2,L,xn}，对任意的n阶置换
?x1p???p(x1)记
x2p(x2)p(x2)x2x3Lp(x3)Lp(x3)Lx3Lxn?
p(xn)??p(xn)? ?xn??p(x)p?1??1?x1容易验证
pop?1?p?1op?IX
我们称p为p的逆置换。
集合X?{x1,x2,L,xn}上的所有n阶置换的全体记作Sn。 置换的复合有以下性质： （1）Sn对于复合运算是封闭的；
（2）结合律成立，即?pi,pj,pk?Sn，有(piopj)opk?pio(pjopk)； （3）Sn中有一个元素称为恒等置换，使对任意p?Sn有poI?Iop?p； （4）任意p?Sn，都存在有逆置换p，使pop?pop?1?1?1?1?I。
习题4.4
1．若X?{1,2,3}，试写出X上的全部置换，并指出各置换的逆。
离散数学电子教材4
