习题 2-1
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １． (3x ? 1)dx ? (2x ? 1)dy ? 0
解： P(x, y) ? 3x ? 1， Q(x, y) ? 2x ? 1 ，
2
2
?P ?Q ?P ?Q
?即，原方程不是恰当方程． 则 ? 0 ， ? 2 ，所以
?y ??x ?y ?x
２． (x ? 2 y)dx ? (2x ? y)dy ? 0
解： P(x, y) ? x ? 2 y,
Q(x, y) ? 2x ? y,
?P ?Q
，即 原方程为恰当方程 则 ? 2, ? 2, 所以 ??
?y ?x ?y ?x
?P ?Q
则 xdx ? (2 ydx ? 2xdy) ? ydy ? 0,
2 y 2 x 两边积分得： ? 2xy ? ? C.
2 2
3. (ax ? by)dx ? (bx ? cy)dy ? 0 (a,b 和c 为常
数)． 解： P(x, y) ? ax ? by, Q(x, y) ? bx ? cy,
?P ?Q
，即 原方程为恰当方程 则 ? b, ? b, 所以 ??
?y ?x ?y ?x
?P ?Q
则 axdx ?（b）ydx ? bxdy ? cydy ? 0,
22ax cy ? bxy ?? ? C. 两边积分得： 2 2
4. (ax ? by)dx ? (bx ? cy)dy ? 0
(b ? 0)
解： P(x, y) ? ax ? by,
Q(x, y) ? bx ? cy,
?P ?Q
，即，原方程不为恰当方程 则 ? ?b, ? b, 因为 b ? 0 , 所以 ??
?y ?x ?y ?x
?P ?Q
- 1 -
５． (t ? 1) cos udu ? 2 t sin udt ? 0
2
解： P(t, u) ? (t ? 1) cos u,
2
Q(t, u) ? 2t sin u
?P ?Q ?P ?Q
，即 原方程为恰当方程 则 ? 2t cos u, ? 2t cos u, 所以 ??
?t ?x ?y ?x
则(t cos udu ? 2t sin udt) ? cos udu ? 0,
2
两边积分得： (t ? 1) sin u ? C.
2
６． ( ye ? 2e? y )dx ? (e? 2xy)dy ? 0
x
x
2
x
解 ： P(x, y ? ye ? 2e? y , Q(x, y) ? e? 2xy ，
x
x
2
x
则
?Q ?P ?Q
? ex ? 2 y, ? ex ? 2 y, 所以? ，即 原方程为恰当方程 ?y ?x ?y ?x
?P
则2edx ? [( ye ? y )dx ? (e? 2xy)dy] ? 0,
x x 2 x
两边积分得： (2 ? y)e? xy ? C.
x
2
７． ( ? x )dx ? (ln x ? 2 y)dy ? 0
y
2
x
解： P(x, y) ? ? x Q(x, y) ? ln x ? 2 y,
y
2
x ?P 1 ?Q 1 ?P ?Q 则 ? ,? , 所以 ?，即 原方程为恰当方程 ?y x ?x x ?y ??x
y 2
则( dx ? ln xdy) ? x dx ? 2 ydy ? 0
x
两边积分得：
x 3 3
? y ln x ? y?? C.
2
８． (ax ? by )dx ? cxydy ? 0 (a, b和c为常数)
2
2
解： P(x, y) ? ax ? by , Q(x, y) ? cxy,
2
2
?Q ?P ?Q 则 ? 2by, ? cy, 所以 当 ? ，即 2b ? c 时， 原方程为恰当方程 ?y ?x ?y ?x
- 2 -
?P
则 ax dx ? (by dx ? cxydy) ? 0
2 2
ax 3
两边积分得： ? bxy 2?? C.
3
而当2b ? c 时原方程不是恰当方程．
2 2s ? 1 s ? s
dt ? 0 ds ??９． 2
t t
1 , Q(t, s) ??s ? s , 解： P(t, s) ??2s ?
t t 2
2
?P ?1 ? 2s ?Q 1 ? 2s , 所以?P ?Q
则 ?, ? 2 ? ， 即原方程为恰当方程, 2 t t ?s ?t ?y ?x
2
s ? s
两边积分得： ? C ．
t
10． xf (x ? y )dx ? yf (x ? y )dy ? 0, 其中 f (?) 是连续的可微函数． 解： P(x, y) ? xf (x ? y ),
2
2
2
2 2 2 2
Q(x, y) ? yf (x
? y 2 ),
?Q ?P ?Q
? 2xyf ?, ? 2xyf ?, 所以? ， 即原方程为恰当方程, ?y ?x ?y ?x
则
?P
两边积分得： f (x? y)dx ? C ,
即原方程的解为 F (x ? y ) ? C (其中 F 为 f 的原积分)．
2
2
?
2 2
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常微分方程教程丁同仁第二版答案完整版
